Номер 792, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 9 - номер 792, страница 162.

Условие.

792. Докажите, что:
а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

Решение 1.

а) Пусть n ∈ N, n – натуральный показатель числа 2

2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺² =
= 2ⁿ + 2ⁿ ⋅ 2 + 2ⁿ ⋅ 2² =
= 2ⁿ(1 + 2 + 4) = 7 ⋅ 2ⁿ =
= 7 ⋅ 2 ⋅ 2ⁿ⁻¹ = 14 ⋅ 2ⁿ⁻¹;

б) 5ⁿ + 5ⁿ⁺¹ = 5ⁿ + 5ⁿ ⋅ 5 =
= 5ⁿ(1 + 5) = 6 ⋅ 5ⁿ =
= 6 ⋅ 5 ⋅ 5ⁿ⁻¹ = 30 ⋅ 5ⁿ⁻¹.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Требуется доказать, что сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14.

Пусть $n$ — любой натуральный показатель ($n \in \mathbb{N}, n \ge 1$). Тогда три последовательные степени числа 2 можно записать как $2^n, 2^{n+1}$ и $2^{n+2}$.

Их сумма $S$ равна:

$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^n$:

$S = 2^n(1 + 2^1 + 2^2) = 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7$

Чтобы доказать делимость на 14, представим $S$ в виде произведения, где один из множителей равен 14. Так как $14 = 2 \cdot 7$ и $n \ge 1$, мы можем преобразовать выражение:

$S = 2^n \cdot 7 = 2^{n-1} \cdot 2 \cdot 7 = 14 \cdot 2^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n-1 \ge 0$, следовательно, $2^{n-1}$ является целым числом. Таким образом, сумма $S$ всегда делится на 14. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ равна $14 \cdot 2^{n-1}$, что очевидно делится на 14 для любого натурального $n$.

б) Требуется доказать, что сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

Пусть $n$ — любой натуральный показатель ($n \in \mathbb{N}, n \ge 1$). Тогда две последовательные степени числа 5 можно записать как $5^n$ и $5^{n+1}$.

Их сумма $S$ равна:

$S = 5^n + 5^{n+1}$

Вынесем за скобки общий множитель $5^n$:

$S = 5^n(1 + 5^1) = 5^n(1 + 5) = 5^n \cdot 6$

Чтобы доказать делимость на 30, представим $S$ в виде произведения, где один из множителей равен 30. Так как $30 = 5 \cdot 6$ и $n \ge 1$, мы можем преобразовать выражение:

$S = 5^n \cdot 6 = 5^{n-1} \cdot 5 \cdot 6 = 30 \cdot 5^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n-1 \ge 0$, следовательно, $5^{n-1}$ является целым числом. Таким образом, сумма $S$ всегда делится на 30. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $5^n + 5^{n+1}$ равна $30 \cdot 5^{n-1}$, что очевидно делится на 30 для любого натурального $n$.