Номер 795, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 795, страница 162.

795. Докажите, что выражение (у + 8)(у − 7) − 4(0,25у − 16) при любом значении у принимает положительные значения.

Для того чтобы доказать, что выражение $(y+8)(y-7) - 4(0,25y - 16)$ при любом значении $y$ принимает положительные значения, необходимо его упростить.

1. Раскроем первые скобки, перемножив многочлены $(y+8)$ и $(y-7)$:
$(y+8)(y-7) = y \cdot y - 7y + 8y - 56 = y^2 + y - 56$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив число $-4$ на выражение в скобках:
$-4(0,25y - 16) = -4 \cdot 0,25y - 4 \cdot (-16) = -y + 64$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(y^2 + y - 56) + (-y + 64) = y^2 + y - 56 - y + 64 = y^2 + (y-y) + (64-56) = y^2 + 8$.

4. Проанализируем полученное выражение $y^2 + 8$.
Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.
Следовательно, сумма неотрицательного числа $y^2$ и положительного числа $8$ всегда будет положительной. Минимальное значение выражения $y^2$ равно 0 (при $y=0$). Тогда минимальное значение всего выражения $y^2 + 8$ составляет $0 + 8 = 8$.
Так как $y^2 + 8 \ge 8$, а $8 > 0$, то выражение всегда положительно.

Ответ: Исходное выражение после упрощения равно $y^2 + 8$. Поскольку $y^2 \ge 0$ для любого $y$, то наименьшее значение выражения $y^2 + 8$ равно $8$. Так как $8 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения, что и требовалось доказать.