Номер 791, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

791. Докажите, что разность чисел abc и cba, где а ≠ 0, с ≠ 0, кратна 11.

Для доказательства представим трехзначные числа $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. В записи $\overline{abc}$ буква a обозначает количество сотен, b – количество десятков, а c – количество единиц.

Запись числа $\overline{abc}$ в виде многочлена:
$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$

Аналогично, для числа $\overline{cba}$:
$\overline{cba} = c \cdot 100 + b \cdot 10 + a$

Условия $a \neq 0$ и $c \neq 0$ гарантируют, что оба числа являются трехзначными.

Теперь найдем разность этих чисел. Можно рассмотреть разность $\overline{abc} - \overline{cba}$ (результат для $\overline{cba} - \overline{abc}$ будет отличаться только знаком, что не влияет на кратность).
$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:
$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$

Упростим выражение:
$99a + 0b - 99c = 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:
$99(a - c)$

Чтобы доказать, что полученное выражение кратно 11, представим множитель 99 в виде произведения, где один из множителей равен 11:
$99 = 9 \cdot 11$

Тогда разность можно записать так:
$99(a - c) = 11 \cdot 9 \cdot (a - c)$

Поскольку a и c — это целые числа (цифры), то их разность $(a-c)$ также является целым числом. Значит, произведение $9 \cdot (a-c)$ — это целое число. Таким образом, разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ всегда является произведением числа 11 и некоторого целого числа $k = 9(a-c)$. Это по определению означает, что разность кратна 11.

Ответ: Разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ равна $99(a-c)$, что можно представить как $11 \cdot 9(a-c)$. Так как один из множителей в произведении равен 11, все произведение делится на 11 без остатка.