Номер 784, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

784. Докажите, что:
а) 7¹⁶ + 7¹⁴ делится на 50;
б) 5³¹ − 5²⁹ делится на 100;
в) 25⁹ + 5¹⁷ делится на 30;
г) 27¹⁰ − 9¹⁴ делится на 24;
д) 12¹³ − 12¹² + 12¹¹ делится на 7 и на 19;
е) 11⁹ − 11⁸ + 11⁷ делится на 3 и на 37.

а) Чтобы доказать, что выражение $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50, вынесем за скобки общий множитель $7^{14}$.
$7^{16} + 7^{14} = 7^{14} \cdot 7^2 + 7^{14} \cdot 1 = 7^{14}(7^2 + 1)$.
Вычислим значение в скобках: $7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$.
Таким образом, исходное выражение равно $7^{14} \cdot 50$.
Поскольку один из множителей равен 50, все произведение делится на 50, что и требовалось доказать.
Ответ: $7^{16} + 7^{14} = 7^{14}(49+1) = 50 \cdot 7^{14}$, выражение делится на 50.

б) Чтобы доказать, что выражение $5^{31} - 5^{29}$ делится на 100, вынесем за скобки общий множитель $5^{29}$.
$5^{31} - 5^{29} = 5^{29} \cdot 5^2 - 5^{29} \cdot 1 = 5^{29}(5^2 - 1)$.
Вычислим значение в скобках: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.
Выражение принимает вид: $5^{29} \cdot 24$.
Представим $100$ в виде произведения $4 \cdot 25$. Нам нужно показать, что в нашем выражении есть такие множители.
$5^{29} \cdot 24 = 5^{27} \cdot 5^2 \cdot (6 \cdot 4) = (5^{27} \cdot 6) \cdot (5^2 \cdot 4) = (5^{27} \cdot 6) \cdot (25 \cdot 4) = (5^{27} \cdot 6) \cdot 100$.
Так как выражение является произведением целого числа и 100, оно делится на 100.
Ответ: $5^{31} - 5^{29} = 5^{29}(25-1) = 5^{29} \cdot 24 = 5^{27} \cdot 25 \cdot 24 = 5^{27} \cdot 6 \cdot 100$, выражение делится на 100.

в) Чтобы доказать, что выражение $25^9 + 5^{17}$ делится на 30, приведем степени к одному основанию 5.
$25^9 + 5^{17} = (5^2)^9 + 5^{17} = 5^{18} + 5^{17}$.
Вынесем за скобки общий множитель $5^{17}$:
$5^{18} + 5^{17} = 5^{17}(5 + 1) = 5^{17} \cdot 6$.
Для делимости на 30, выражение должно делиться на 5 и на 6 (так как 5 и 6 взаимно простые, $30 = 5 \cdot 6$).
Выражение делится на 6, так как содержит множитель 6.
Выражение делится на 5, так как содержит множитель $5^{17}$.
Следовательно, выражение $5^{17} \cdot 6$ делится на $5 \cdot 6 = 30$. Можно записать это как $5^{16} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{16} \cdot 30$.
Ответ: $25^9 + 5^{17} = 5^{17}(5+1) = 5^{17} \cdot 6 = 5^{16} \cdot 30$, выражение делится на 30.

г) Чтобы доказать, что выражение $27^{10} - 9^{14}$ делится на 24, приведем степени к одному основанию 3.
$27^{10} - 9^{14} = (3^3)^{10} - (3^2)^{14} = 3^{30} - 3^{28}$.
Вынесем за скобки общий множитель $3^{28}$:
$3^{30} - 3^{28} = 3^{28}(3^2 - 1) = 3^{28}(9 - 1) = 3^{28} \cdot 8$.
Для делимости на 24, выражение должно делиться на 3 и на 8 (так как 3 и 8 взаимно простые, $24 = 3 \cdot 8$).
Выражение делится на 8, так как содержит множитель 8.
Выражение делится на 3, так как содержит множитель $3^{28}$.
Следовательно, выражение $3^{28} \cdot 8$ делится на $3 \cdot 8 = 24$. Можно записать это как $3^{27} \cdot 3 \cdot 8 = 3^{27} \cdot 24$.
Ответ: $27^{10} - 9^{14} = 3^{28}(3^2 - 1) = 3^{28} \cdot 8 = 3^{27} \cdot 24$, выражение делится на 24.

д) Чтобы доказать, что выражение $12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$ делится на 7 и на 19, вынесем за скобки общий множитель $12^{11}$.
$12^{13} - 12^{12} + 12^{11} = 12^{11}(12^2 - 12 + 1)$.
Вычислим значение в скобках: $12^2 - 12 + 1 = 144 - 12 + 1 = 133$.
Исходное выражение равно $12^{11} \cdot 133$.
Разложим число 133 на множители. Проверим делимость на 7: $133 : 7 = 19$. Значит, $133 = 7 \cdot 19$.
Тогда выражение можно записать как $12^{11} \cdot 7 \cdot 19$.
Это произведение делится на 7, так как содержит множитель 7.
Это произведение делится на 19, так как содержит множитель 19.
Ответ: $12^{13} - 12^{12} + 12^{11} = 12^{11}(144-12+1) = 12^{11} \cdot 133 = 12^{11} \cdot 7 \cdot 19$, выражение делится и на 7, и на 19.

е) Чтобы доказать, что выражение $11^9 - 11^8 + 11^7$ делится на 3 и на 37, вынесем за скобки общий множитель $11^7$.
$11^9 - 11^8 + 11^7 = 11^7(11^2 - 11 + 1)$.
Вычислим значение в скобках: $11^2 - 11 + 1 = 121 - 11 + 1 = 111$.
Исходное выражение равно $11^7 \cdot 111$.
Разложим число 111 на множители. Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, значит, 111 делится на 3. $111 : 3 = 37$. Значит, $111 = 3 \cdot 37$.
Тогда выражение можно записать как $11^7 \cdot 3 \cdot 37$.
Это произведение делится на 3, так как содержит множитель 3.
Это произведение делится на 37, так как содержит множитель 37.
Ответ: $11^9 - 11^8 + 11^7 = 11^7(121-11+1) = 11^7 \cdot 111 = 11^7 \cdot 3 \cdot 37$, выражение делится и на 3, и на 37.