Номер 782, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

782. В водный раствор соли массой 480 г добавили 20 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 3,75%. Сколько соли было в растворе первоначально?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальная масса соли в растворе (в граммах).

Масса всего раствора изначально составляла 480 г. Концентрация вещества в растворе — это отношение массы этого вещества к массе всего раствора. Таким образом, первоначальная концентрация соли ($C_1$) в растворе была:

$C_1 = \frac{x}{480}$

После того как в раствор добавили 20 г соли, масса соли в нем увеличилась и стала равной $(x + 20)$ г. Общая масса раствора также увеличилась на 20 г и стала $480 + 20 = 500$ г.

Новая концентрация соли ($C_2$) в растворе составила:

$C_2 = \frac{x + 20}{500}$

По условию, концентрация раствора повысилась на 3,75%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 3,75%. Переведем проценты в десятичную дробь для удобства вычислений: $3,75\% = \frac{3,75}{100} = 0,0375$.

Составим уравнение, исходя из того, что $C_2 - C_1 = 0,0375$:

$\frac{x + 20}{500} - \frac{x}{480} = 0,0375$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 500 и 480, которое равно 12000.

$12000 \cdot \left(\frac{x + 20}{500}\right) - 12000 \cdot \left(\frac{x}{480}\right) = 12000 \cdot 0,0375$

Выполним умножение:

$24 \cdot (x + 20) - 25 \cdot x = 450$

Теперь раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$24x + 480 - 25x = 450$

Приведем подобные слагаемые:

$480 - x = 450$

Найдем $x$:

$x = 480 - 450$

$x = 30$

Следовательно, первоначальная масса соли в растворе составляла 30 г.

Проверка:

Начальная концентрация: $C_1 = \frac{30}{480} \cdot 100\% = \frac{1}{16} \cdot 100\% = 6,25\%$.

Конечная концентрация: $C_2 = \frac{30 + 20}{480 + 20} \cdot 100\% = \frac{50}{500} \cdot 100\% = 10\%$.

Разница концентраций: $C_2 - C_1 = 10\% - 6,25\% = 3,75\%$.

Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: 30 г.