Номер 775, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

775. Из города А в город В одновременно отправляются два автобуса. Скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. Через 312 ч один автобус пришёл в В, а другой находился от В на расстоянии, равном 16 расстояния между А и В. Найдите скорости автобусов и расстояние от А до В.

Пусть $S$ (в км) — расстояние от города А до города В, $v_1$ (в км/ч) — скорость более быстрого автобуса, и $v_2$ (в км/ч) — скорость более медленного автобуса. Время в пути, указанное в задаче, составляет $t = 3\frac{1}{2}$ часа, что равно 3,5 часа.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Скорость одного автобуса на 10 км/ч больше скорости другого. Предположим, что первый автобус быстрее: $v_1 = v_2 + 10$.
2. Более быстрый автобус за время $t$ прибыл в город В, то есть преодолел все расстояние $S$. Следовательно: $S = v_1 \cdot t = v_1 \cdot 3.5$.
3. Более медленный автобус за то же время $t$ находился на расстоянии $\frac{1}{6}S$ от города В. Это значит, что он проехал расстояние, равное $S - \frac{1}{6}S = \frac{5}{6}S$. Следовательно: $\frac{5}{6}S = v_2 \cdot t = v_2 \cdot 3.5$.

Теперь решим полученную систему. Из уравнений (2) и (3) выразим скорости $v_1$ и $v_2$ через расстояние $S$:
$v_1 = \frac{S}{3.5}$
$v_2 = \frac{5S}{6 \cdot 3.5} = \frac{5S}{21}$

Подставим эти выражения в первое уравнение ($v_1 = v_2 + 10$), чтобы найти $S$:
$\frac{S}{3.5} = \frac{5S}{21} + 10$

Для решения уравнения преобразуем десятичную дробь $3.5$ в обыкновенную $\frac{7}{2}$:
$\frac{S}{7/2} = \frac{5S}{21} + 10$
$\frac{2S}{7} = \frac{5S}{21} + 10$

Перенесем все слагаемые с переменной $S$ в левую часть уравнения:
$\frac{2S}{7} - \frac{5S}{21} = 10$

Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$\frac{3 \cdot 2S}{21} - \frac{5S}{21} = 10$
$\frac{6S - 5S}{21} = 10$
$\frac{S}{21} = 10$

Отсюда находим расстояние $S$:
$S = 10 \cdot 21 = 210$ км.

Теперь, зная расстояние, можем найти скорости автобусов:
Скорость быстрого автобуса: $v_1 = \frac{S}{3.5} = \frac{210}{3.5} = 60$ км/ч.
Скорость медленного автобуса: $v_2 = v_1 - 10 = 60 - 10 = 50$ км/ч.

Ответ: скорость одного автобуса 60 км/ч, скорость другого — 50 км/ч, а расстояние от А до В равно 210 км.