Номер 775, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 9 - номер 775, страница 160.

Условие.

775. Из города А в город В одновременно отправляются два автобуса. Скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. Через 312 ч один автобус пришёл в В, а другой находился от В на расстоянии, равном 16 расстояния между А и В. Найдите скорости автобусов и расстояние от А до В.

Решение 1.

Пусть х км/ч – скорость первого автобуса, тогда (х + 10) км/ч – скорость второго автобуса. Зная, что один автобус через $3\frac{1}{2} \mathrm{ч}$ прошёл весь путь из A в B, получим расстояние AB = 3,5(x + 10) км. Расстояние от местонахождения второго автобуса до B равно $\mathrm{BC}=\frac{1}{6}·\mathrm{AB}=\frac{1}{6}·3,5(\mathrm{x}+10) \mathrm{км}.$ Расстояние, которое прошёл автобус, шедший со скоростью x км/ч до C. $\mathrm{AC}=3,5(\mathrm{x}+10)-\frac{1}{6}·3,5(\mathrm{x}+10).$ С другой стороны AC = 3,5x. Получим уравнение:

$\mathbf{1}\mathbf{)} 3,5(\mathrm{x}+10)-\frac{1}{6}·3,5(\mathrm{x}+10)=3,5\mathrm{x};$

$\frac{5}{6}·3,5(\mathrm{x}+10)=3,5\mathrm{x};$

$\frac{5}{6}·\frac{35}{10}(\mathrm{x}+10)=3,5\mathrm{x};$

$\frac{35}{12}\mathrm{x}+\frac{35}{12}·10=3,5\mathrm{x};$

$\frac{35·5}{6}=\frac{35}{10}\mathrm{x}-\frac{35}{12}\mathrm{x};$

$\frac{7}{2}\mathrm{x}-\frac{35}{12}\mathrm{x}=\frac{175}{6};$

$\frac{42}{12}\mathrm{x}-\frac{35}{12}\mathrm{x}=\frac{175}{6};$

$\frac{7}{12}\mathrm{x}=\frac{175}{6};$

$\mathrm{x}=\frac{175}{6} : \frac{7}{12};$

$\mathrm{x}=\frac{175·12}{6·7}=\frac{25·2}{1·1}=50;$

2) 50 + 10 = 60 (км/ч) – скорость II автобуса;

3) 3,5 ⋅ 60 = 210 (км).

Ответ: 50 км/ч, 60 км/ч, 210 км.

Решение 2.

Пусть $S$ (в км) — расстояние от города А до города В, $v_1$ (в км/ч) — скорость более быстрого автобуса, и $v_2$ (в км/ч) — скорость более медленного автобуса. Время в пути, указанное в задаче, составляет $t = 3\frac{1}{2}$ часа, что равно 3,5 часа.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Скорость одного автобуса на 10 км/ч больше скорости другого. Предположим, что первый автобус быстрее: $v_1 = v_2 + 10$.
2. Более быстрый автобус за время $t$ прибыл в город В, то есть преодолел все расстояние $S$. Следовательно: $S = v_1 \cdot t = v_1 \cdot 3.5$.
3. Более медленный автобус за то же время $t$ находился на расстоянии $\frac{1}{6}S$ от города В. Это значит, что он проехал расстояние, равное $S - \frac{1}{6}S = \frac{5}{6}S$. Следовательно: $\frac{5}{6}S = v_2 \cdot t = v_2 \cdot 3.5$.

Теперь решим полученную систему. Из уравнений (2) и (3) выразим скорости $v_1$ и $v_2$ через расстояние $S$:
$v_1 = \frac{S}{3.5}$
$v_2 = \frac{5S}{6 \cdot 3.5} = \frac{5S}{21}$

Подставим эти выражения в первое уравнение ($v_1 = v_2 + 10$), чтобы найти $S$:
$\frac{S}{3.5} = \frac{5S}{21} + 10$

Для решения уравнения преобразуем десятичную дробь $3.5$ в обыкновенную $\frac{7}{2}$:
$\frac{S}{7/2} = \frac{5S}{21} + 10$
$\frac{2S}{7} = \frac{5S}{21} + 10$

Перенесем все слагаемые с переменной $S$ в левую часть уравнения:
$\frac{2S}{7} - \frac{5S}{21} = 10$

Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$\frac{3 \cdot 2S}{21} - \frac{5S}{21} = 10$
$\frac{6S - 5S}{21} = 10$
$\frac{S}{21} = 10$

Отсюда находим расстояние $S$:
$S = 10 \cdot 21 = 210$ км.

Теперь, зная расстояние, можем найти скорости автобусов:
Скорость быстрого автобуса: $v_1 = \frac{S}{3.5} = \frac{210}{3.5} = 60$ км/ч.
Скорость медленного автобуса: $v_2 = v_1 - 10 = 60 - 10 = 50$ км/ч.

Ответ: скорость одного автобуса 60 км/ч, скорость другого — 50 км/ч, а расстояние от А до В равно 210 км.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.