Номер 773, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

773. Расстояние между пристанями М и N равно 162 км. От пристани М отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани N навстречу ему отошёл другой теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?

Для решения этой задачи можно использовать два способа: по действиям или с помощью уравнения.

Способ 1: Решение по действиям

1. Найдем расстояние, которое прошел первый теплоход за 45 минут до отправления второго.
Сначала переведем время из минут в часы, так как скорость дана в км/ч. В одном часе 60 минут.
$t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$
Теперь вычислим расстояние $S_1$, которое прошел первый теплоход за это время, двигаясь со скоростью $v_1 = 45 \text{ км/ч}$:
$S_1 = v_1 \times t_1 = 45 \text{ км/ч} \times 0.75 \text{ ч} = 33.75 \text{ км}$

2. Определим расстояние между теплоходами в момент отправления второго.
Изначальное расстояние между пристанями $M$ и $N$ было $S = 162 \text{ км}$. После того как первый теплоход прошел $33.75 \text{ км}$, расстояние между ними сократилось. Найдем оставшееся расстояние $S_{ост}$:
$S_{ост} = S - S_1 = 162 \text{ км} - 33.75 \text{ км} = 128.25 \text{ км}$

3. Найдем скорость сближения теплоходов.
Теплоходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей первого ($v_1 = 45 \text{ км/ч}$) и второго ($v_2 = 36 \text{ км/ч}$) теплоходов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 45 \text{ км/ч} + 36 \text{ км/ч} = 81 \text{ км/ч}$

4. Вычислим время, через которое теплоходы встретятся после отправления второго.
Чтобы найти это время ($t_{встр}$), нужно разделить оставшееся расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{128.25 \text{ км}}{81 \text{ км/ч}} = 1.5833... \text{ ч}$
Для точности проведем вычисления в обыкновенных дробях: $128.25 = \frac{513}{4}$.
$t_{встр} = \frac{513/4}{81} = \frac{513}{4 \times 81} = \frac{19}{12} \text{ ч}$

5. Найдем общее время от момента отправления первого теплохода до встречи.
Искомое время $T$ равно сумме времени, которое первый теплоход плыл один ($0.75$ ч), и времени, которое они плыли вместе до встречи ($\frac{19}{12}$ ч):
$T = 0.75 \text{ ч} + \frac{19}{12} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} + \frac{19}{12} \text{ ч}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$T = \frac{9}{12} \text{ ч} + \frac{19}{12} \text{ ч} = \frac{28}{12} \text{ ч}$
Сократим дробь на 4:
$T = \frac{7}{3} \text{ ч} = 2 \frac{1}{3} \text{ ч}$

Это составляет 2 часа и $\frac{1}{3} \times 60 = 20$ минут.
Ответ: $2 \frac{1}{3}$ часа.

Способ 2: Решение с помощью уравнения

Пусть $t$ — время в часах, прошедшее с момента отправления первого теплохода до их встречи.

Тогда первый теплоход будет в пути $t$ часов и пройдет расстояние $S_1 = 45t$.

Второй теплоход отправился на 45 минут ($0.75$ часа) позже, значит, он будет в пути $(t - 0.75)$ часов и пройдет расстояние $S_2 = 36(t - 0.75)$.

В момент встречи суммарное расстояние, пройденное обоими теплоходами, будет равно расстоянию между пристанями, то есть 162 км.

Составим и решим уравнение:
$S_1 + S_2 = 162$
$45t + 36(t - 0.75) = 162$
Раскроем скобки:
$45t + 36t - 36 \times 0.75 = 162$
$81t - 27 = 162$
Перенесем 27 в правую часть:
$81t = 162 + 27$
$81t = 189$
Найдем $t$:
$t = \frac{189}{81}$
Сократим дробь на 27 (или последовательно на 9 и на 3):
$t = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$ часа.
Ответ: $2 \frac{1}{3}$ часа.