Номер 774, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

774. От пристани А отошёл теплоход со скоростью 40 км/ч. Через 114 ч вслед за ним отошел другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?

Для решения задачи обозначим скорость первого теплохода как $v_1 = 40$ км/ч, а скорость второго — $v_2 = 60$ км/ч. Второй теплоход отправился на $1\frac{1}{4}$ часа позже первого.

Через сколько часов после своего отправления второй теплоход догонит первый?

1. Сначала найдём расстояние, которое прошёл первый теплоход за то время, пока второй находился на пристани. Это время составляет $1\frac{1}{4} \text{ ч}$, что равно $1.25 \text{ ч}$.
Это расстояние является начальной дистанцией (форой) между теплоходами в момент старта второго:
$S_{фора} = v_1 \cdot \Delta t = 40 \text{ км/ч} \cdot 1.25 \text{ ч} = 50 \text{ км}$.
2. Второй теплоход догоняет первый со скоростью сближения, которая равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.
3. Время, за которое второй теплоход покроет расстояние в 50 км, и будет искомым временем. Обозначим это время как $t_2$:
$t_2 = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{50 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ ч}$.
Ответ: через 2.5 часа.

На каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?

Чтобы найти это расстояние, нужно умножить скорость второго теплохода на время его движения до момента встречи ($t_2$), которое мы нашли в предыдущем пункте.
Расстояние от пристани А:
$S = v_2 \cdot t_2 = 60 \text{ км/ч} \cdot 2.5 \text{ ч} = 150 \text{ км}$.
Для проверки можно вычислить расстояние, которое прошел первый теплоход за всё своё время пути. Его общее время в пути $t_1$ равно сумме времени форы и времени погони: $t_1 = 1.25 \text{ ч} + 2.5 \text{ ч} = 3.75 \text{ ч}$.
$S = v_1 \cdot t_1 = 40 \text{ км/ч} \cdot 3.75 \text{ ч} = 150 \text{ км}$.
Результаты совпадают, следовательно, вычисления верны.
Ответ: на расстоянии 150 км.