Страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

771. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом. Концентрация соли в первом растворе составляла 10%, а во втором − 30%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация соли в котором оказалась равной 25%. Сколько раствора было в первом сосуде первоначально?

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса раствора в первом сосуде равна $x$ кг. По условию, во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом, следовательно, масса раствора во втором сосуде составляет $(x + 2)$ кг.

Концентрация соли в первом растворе составляет 10%. Масса соли в первом сосуде равна произведению массы раствора на его концентрацию (выраженную в долях):
$m_{соли1} = 0.1 \cdot x$ кг.

Концентрация соли во втором растворе — 30%. Масса соли во втором сосуде равна:
$m_{соли2} = 0.3 \cdot (x + 2)$ кг.

После того как растворы слили в третий сосуд, общая масса нового раствора стала равна сумме масс исходных растворов:
$M_{общ} = x + (x + 2) = 2x + 2$ кг.

Общая масса соли в новом растворе стала равна сумме масс соли из двух исходных растворов:
$m_{соли\_общ} = 0.1x + 0.3(x + 2)$ кг.

Концентрация соли в полученном растворе оказалась равной 25%. Концентрация вычисляется по формуле: $C = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}}$. Подставим известные значения и составим уравнение:

$\frac{0.1x + 0.3(x + 2)}{2x + 2} = 0.25$

Решим полученное уравнение:

$0.1x + 0.3(x + 2) = 0.25(2x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0.1x + 0.3x + 0.6 = 0.5x + 0.5$

Приведем подобные слагаемые:

$0.4x + 0.6 = 0.5x + 0.5$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$0.6 - 0.5 = 0.5x - 0.4x$

$0.1 = 0.1x$

Найдем $x$:

$x = \frac{0.1}{0.1} = 1$

Следовательно, в первом сосуде первоначально был 1 кг раствора.

Ответ: 1 кг.

772. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая − 200 кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ кг — это количество раствора, которое привезли во вторую бригаду.
Поскольку в первую бригаду привезли на 50 кг меньше, то им привезли $(x - 50)$ кг раствора.

Теперь рассчитаем, сколько раствора израсходовала каждая бригада за 3 часа работы.
Первая бригада израсходовала: $150 \text{ кг/ч} \times 3 \text{ ч} = 450 \text{ кг}$.
Вторая бригада израсходовала: $200 \text{ кг/ч} \times 3 \text{ ч} = 600 \text{ кг}$.

Вычислим, сколько раствора осталось в каждой бригаде через 3 часа.
Остаток в первой бригаде: $(x - 50) - 450 = x - 550$ кг.
Остаток во второй бригаде: $x - 600$ кг.

По условию, в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Составим уравнение на основе этого факта:
$x - 550 = 1.5 \cdot (x - 600)$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$x - 550 = 1.5x - 1.5 \cdot 600$
$x - 550 = 1.5x - 900$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:
$900 - 550 = 1.5x - x$
$350 = 0.5x$
$x = \frac{350}{0.5}$
$x = 700$

Таким образом, во вторую бригаду привезли 700 кг раствора.

Теперь найдем, сколько раствора привезли в первую бригаду:
$x - 50 = 700 - 50 = 650$ кг.

Ответ: в первую бригаду привезли 650 кг раствора, а во вторую — 700 кг.

773. Расстояние между пристанями М и N равно 162 км. От пристани М отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани N навстречу ему отошёл другой теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?

Для решения этой задачи можно использовать два способа: по действиям или с помощью уравнения.

Способ 1: Решение по действиям

1. Найдем расстояние, которое прошел первый теплоход за 45 минут до отправления второго.
Сначала переведем время из минут в часы, так как скорость дана в км/ч. В одном часе 60 минут.
$t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$
Теперь вычислим расстояние $S_1$, которое прошел первый теплоход за это время, двигаясь со скоростью $v_1 = 45 \text{ км/ч}$:
$S_1 = v_1 \times t_1 = 45 \text{ км/ч} \times 0.75 \text{ ч} = 33.75 \text{ км}$

2. Определим расстояние между теплоходами в момент отправления второго.
Изначальное расстояние между пристанями $M$ и $N$ было $S = 162 \text{ км}$. После того как первый теплоход прошел $33.75 \text{ км}$, расстояние между ними сократилось. Найдем оставшееся расстояние $S_{ост}$:
$S_{ост} = S - S_1 = 162 \text{ км} - 33.75 \text{ км} = 128.25 \text{ км}$

3. Найдем скорость сближения теплоходов.
Теплоходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме скоростей первого ($v_1 = 45 \text{ км/ч}$) и второго ($v_2 = 36 \text{ км/ч}$) теплоходов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 45 \text{ км/ч} + 36 \text{ км/ч} = 81 \text{ км/ч}$

4. Вычислим время, через которое теплоходы встретятся после отправления второго.
Чтобы найти это время ($t_{встр}$), нужно разделить оставшееся расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{128.25 \text{ км}}{81 \text{ км/ч}} = 1.5833... \text{ ч}$
Для точности проведем вычисления в обыкновенных дробях: $128.25 = \frac{513}{4}$.
$t_{встр} = \frac{513/4}{81} = \frac{513}{4 \times 81} = \frac{19}{12} \text{ ч}$

5. Найдем общее время от момента отправления первого теплохода до встречи.
Искомое время $T$ равно сумме времени, которое первый теплоход плыл один ($0.75$ ч), и времени, которое они плыли вместе до встречи ($\frac{19}{12}$ ч):
$T = 0.75 \text{ ч} + \frac{19}{12} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} + \frac{19}{12} \text{ ч}$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$T = \frac{9}{12} \text{ ч} + \frac{19}{12} \text{ ч} = \frac{28}{12} \text{ ч}$
Сократим дробь на 4:
$T = \frac{7}{3} \text{ ч} = 2 \frac{1}{3} \text{ ч}$

Это составляет 2 часа и $\frac{1}{3} \times 60 = 20$ минут.
Ответ: $2 \frac{1}{3}$ часа.

Способ 2: Решение с помощью уравнения

Пусть $t$ — время в часах, прошедшее с момента отправления первого теплохода до их встречи.

Тогда первый теплоход будет в пути $t$ часов и пройдет расстояние $S_1 = 45t$.

Второй теплоход отправился на 45 минут ($0.75$ часа) позже, значит, он будет в пути $(t - 0.75)$ часов и пройдет расстояние $S_2 = 36(t - 0.75)$.

В момент встречи суммарное расстояние, пройденное обоими теплоходами, будет равно расстоянию между пристанями, то есть 162 км.

Составим и решим уравнение:
$S_1 + S_2 = 162$
$45t + 36(t - 0.75) = 162$
Раскроем скобки:
$45t + 36t - 36 \times 0.75 = 162$
$81t - 27 = 162$
Перенесем 27 в правую часть:
$81t = 162 + 27$
$81t = 189$
Найдем $t$:
$t = \frac{189}{81}$
Сократим дробь на 27 (или последовательно на 9 и на 3):
$t = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$ часа.
Ответ: $2 \frac{1}{3}$ часа.

774. От пристани А отошёл теплоход со скоростью 40 км/ч. Через 114 ч вслед за ним отошел другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?

Для решения задачи обозначим скорость первого теплохода как $v_1 = 40$ км/ч, а скорость второго — $v_2 = 60$ км/ч. Второй теплоход отправился на $1\frac{1}{4}$ часа позже первого.

Через сколько часов после своего отправления второй теплоход догонит первый?

1. Сначала найдём расстояние, которое прошёл первый теплоход за то время, пока второй находился на пристани. Это время составляет $1\frac{1}{4} \text{ ч}$, что равно $1.25 \text{ ч}$.
Это расстояние является начальной дистанцией (форой) между теплоходами в момент старта второго:
$S_{фора} = v_1 \cdot \Delta t = 40 \text{ км/ч} \cdot 1.25 \text{ ч} = 50 \text{ км}$.
2. Второй теплоход догоняет первый со скоростью сближения, которая равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 60 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.
3. Время, за которое второй теплоход покроет расстояние в 50 км, и будет искомым временем. Обозначим это время как $t_2$:
$t_2 = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{50 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ ч}$.
Ответ: через 2.5 часа.

На каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?

Чтобы найти это расстояние, нужно умножить скорость второго теплохода на время его движения до момента встречи ($t_2$), которое мы нашли в предыдущем пункте.
Расстояние от пристани А:
$S = v_2 \cdot t_2 = 60 \text{ км/ч} \cdot 2.5 \text{ ч} = 150 \text{ км}$.
Для проверки можно вычислить расстояние, которое прошел первый теплоход за всё своё время пути. Его общее время в пути $t_1$ равно сумме времени форы и времени погони: $t_1 = 1.25 \text{ ч} + 2.5 \text{ ч} = 3.75 \text{ ч}$.
$S = v_1 \cdot t_1 = 40 \text{ км/ч} \cdot 3.75 \text{ ч} = 150 \text{ км}$.
Результаты совпадают, следовательно, вычисления верны.
Ответ: на расстоянии 150 км.

775. Из города А в город В одновременно отправляются два автобуса. Скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. Через 312 ч один автобус пришёл в В, а другой находился от В на расстоянии, равном 16 расстояния между А и В. Найдите скорости автобусов и расстояние от А до В.

Пусть $S$ (в км) — расстояние от города А до города В, $v_1$ (в км/ч) — скорость более быстрого автобуса, и $v_2$ (в км/ч) — скорость более медленного автобуса. Время в пути, указанное в задаче, составляет $t = 3\frac{1}{2}$ часа, что равно 3,5 часа.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Скорость одного автобуса на 10 км/ч больше скорости другого. Предположим, что первый автобус быстрее: $v_1 = v_2 + 10$.
2. Более быстрый автобус за время $t$ прибыл в город В, то есть преодолел все расстояние $S$. Следовательно: $S = v_1 \cdot t = v_1 \cdot 3.5$.
3. Более медленный автобус за то же время $t$ находился на расстоянии $\frac{1}{6}S$ от города В. Это значит, что он проехал расстояние, равное $S - \frac{1}{6}S = \frac{5}{6}S$. Следовательно: $\frac{5}{6}S = v_2 \cdot t = v_2 \cdot 3.5$.

Теперь решим полученную систему. Из уравнений (2) и (3) выразим скорости $v_1$ и $v_2$ через расстояние $S$:
$v_1 = \frac{S}{3.5}$
$v_2 = \frac{5S}{6 \cdot 3.5} = \frac{5S}{21}$

Подставим эти выражения в первое уравнение ($v_1 = v_2 + 10$), чтобы найти $S$:
$\frac{S}{3.5} = \frac{5S}{21} + 10$

Для решения уравнения преобразуем десятичную дробь $3.5$ в обыкновенную $\frac{7}{2}$:
$\frac{S}{7/2} = \frac{5S}{21} + 10$
$\frac{2S}{7} = \frac{5S}{21} + 10$

Перенесем все слагаемые с переменной $S$ в левую часть уравнения:
$\frac{2S}{7} - \frac{5S}{21} = 10$

Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$\frac{3 \cdot 2S}{21} - \frac{5S}{21} = 10$
$\frac{6S - 5S}{21} = 10$
$\frac{S}{21} = 10$

Отсюда находим расстояние $S$:
$S = 10 \cdot 21 = 210$ км.

Теперь, зная расстояние, можем найти скорости автобусов:
Скорость быстрого автобуса: $v_1 = \frac{S}{3.5} = \frac{210}{3.5} = 60$ км/ч.
Скорость медленного автобуса: $v_2 = v_1 - 10 = 60 - 10 = 50$ км/ч.

Ответ: скорость одного автобуса 60 км/ч, скорость другого — 50 км/ч, а расстояние от А до В равно 210 км.

776. Из А в В одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первым прибыл в В, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из А. Расстояние между А и В равно 120 км. Найдите скорости мотоциклистов и расстояние от места встречи до В.

Пусть $v_1$ — скорость первого (более быстрого) мотоциклиста, а $v_2$ — скорость второго мотоциклиста. Расстояние между пунктами А и В равно $S = 120$ км.

Согласно условию, скорость одного мотоциклиста в 1,5 раза больше скорости другого. Это означает, что $v_1$ — это скорость более быстрого мотоциклиста. Запишем это в виде уравнения: $v_1 = 1.5 \cdot v_2$

Мотоциклисты встретились через 2 часа 24 минуты после выезда из А. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $t = 2 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 2 + \frac{24}{60} \text{ ч} = 2 + 0.4 \text{ ч} = 2.4 \text{ ч}$

К моменту встречи быстрый мотоциклист проехал расстояние от А до В ($120$ км) и часть пути обратно. Медленный мотоциклист за это же время проехал часть пути от А к В. Если сложить расстояния, которые проехали оба мотоциклиста до момента встречи, то получится удвоенное расстояние между А и В.

Путь, пройденный первым мотоциклистом: $d_1 = v_1 \cdot t$.
Путь, пройденный вторым мотоциклистом: $d_2 = v_2 \cdot t$.

Сумма их путей равна $d_1 + d_2 = 2S$.
Составим уравнение на основе этого факта: $v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = 2S$
$(v_1 + v_2) \cdot t = 2S$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} v_1 = 1.5 v_2 \\ (v_1 + v_2) \cdot 2.4 = 2 \cdot 120 \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:
$(1.5 v_2 + v_2) \cdot 2.4 = 240$
$2.5 v_2 \cdot 2.4 = 240$
$6 v_2 = 240$
$v_2 = \frac{240}{6}$
$v_2 = 40$ км/ч

Теперь, зная скорость второго мотоциклиста, найдем скорость первого:
$v_1 = 1.5 \cdot v_2 = 1.5 \cdot 40 = 60$ км/ч

Ответ: скорости мотоциклистов равны 60 км/ч и 40 км/ч.

Чтобы найти расстояние от места встречи до пункта В, можно вычислить, какой путь проделал второй (медленный) мотоциклист от пункта А.

Он ехал из А в течение $t = 2.4$ часа со скоростью $v_2 = 40$ км/ч. Расстояние, которое он проехал от А до места встречи:
$d_{А,встреча} = v_2 \cdot t = 40 \cdot 2.4 = 96$ км.

Поскольку все расстояние от А до В равно 120 км, то расстояние от места встречи до В составит:
$d_{встреча,В} = S - d_{А,встреча} = 120 - 96 = 24$ км.

Для проверки можно выполнить расчет через первого мотоциклиста. Он доехал до В за $t_1 = \frac{120}{60} = 2$ часа. Встреча произошла через 2.4 часа, значит, он ехал обратно от В в течение $2.4 - 2 = 0.4$ часа. За это время он проехал $60 \text{ км/ч} \cdot 0.4 \text{ ч} = 24$ км. Результат совпадает.

Ответ: расстояние от места встречи до В равно 24 км.

777. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде.

Согласно условию, скорость течения реки составляет 1,5 км/ч.
Тогда скорость катера при движении по течению будет равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по\;теч.} = (x + 1,5)$ км/ч.
Скорость катера при движении против течения будет равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против\;теч.} = (x - 1,5)$ км/ч.

Теперь найдем расстояния, которые катер проходит по течению и против течения, используя формулу $S = v \times t$.
Расстояние, пройденное по течению за 4 часа: $S_{по\;теч.} = 4 \times (x + 1,5)$ км.
Расстояние, пройденное против течения за 2 часа: $S_{против\;теч.} = 2 \times (x - 1,5)$ км.

В условии сказано, что расстояние, пройденное по течению, в 2,4 раза больше расстояния, пройденного против течения. На основе этого составим уравнение:
$S_{по\;теч.} = 2,4 \times S_{против\;теч.}$
Подставим в него выражения для расстояний:
$4 \times (x + 1,5) = 2,4 \times (2 \times (x - 1,5))$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$.
Сначала упростим правую часть:
$4 \times (x + 1,5) = 4,8 \times (x - 1,5)$
Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$4x + 4 \times 1,5 = 4,8x - 4,8 \times 1,5$
$4x + 6 = 4,8x - 7,2$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Удобнее перенести $4x$ вправо, а $-7,2$ влево, чтобы коэффициенты остались положительными:
$6 + 7,2 = 4,8x - 4x$
$13,2 = 0,8x$
Чтобы найти $x$, разделим 13,2 на 0,8:
$x = \frac{13,2}{0,8} = \frac{132}{8} = 16,5$

Таким образом, скорость катера в стоячей воде равна 16,5 км/ч.
Ответ: 16,5 км/ч.

778. За 6 ч катер проходит по течению на 20 км меньше, чем за 10 ч против течения. Какова скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 15 км/ч?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v_т$ – скорость течения реки в км/ч. Это искомая величина.

По условию, скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) равна $v_к = 15$ км/ч.

Тогда скорость катера при движении по течению будет равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_к + v_т = (15 + v_т)$ км/ч.

Скорость катера при движении против течения будет равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = v_к - v_т = (15 - v_т)$ км/ч.

Теперь найдем расстояния, пройденные катером. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Расстояние, которое катер проходит по течению за 6 часов, равно:

$S_{по} = v_{по} \cdot 6 = 6 \cdot (15 + v_т)$ км.

Расстояние, которое катер проходит против течения за 10 часов, равно:

$S_{пр} = v_{пр} \cdot 10 = 10 \cdot (15 - v_т)$ км.

Из условия задачи известно, что расстояние, пройденное по течению, на 20 км меньше, чем расстояние, пройденное против течения. На основе этого составим уравнение:

$S_{пр} - S_{по} = 20$

Подставим выражения для расстояний в это уравнение:

$10 \cdot (15 - v_т) - 6 \cdot (15 + v_т) = 20$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $v_т$. Сначала раскроем скобки:

$150 - 10v_т - 90 - 6v_т = 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(150 - 90) + (-10v_т - 6v_т) = 20$

$60 - 16v_т = 20$

Перенесем слагаемые так, чтобы члены с переменной оказались с одной стороны, а свободные члены — с другой:

$60 - 20 = 16v_т$

$40 = 16v_т$

Чтобы найти $v_т$, разделим 40 на 16:

$v_т = \frac{40}{16}$

Сократим дробь на 8:

$v_т = \frac{5}{2} = 2.5$

Следовательно, скорость течения реки составляет 2,5 км/ч.

Выполним проверку для подтверждения результата.

Скорость по течению: $15 + 2.5 = 17.5$ км/ч.

Расстояние за 6 часов по течению: $17.5 \cdot 6 = 105$ км.

Скорость против течения: $15 - 2.5 = 12.5$ км/ч.

Расстояние за 10 часов против течения: $12.5 \cdot 10 = 125$ км.

Разница расстояний: $125 \text{ км} - 105 \text{ км} = 20 \text{ км}$. Условие задачи выполнено.

Ответ: скорость течения равна 2,5 км/ч.

779. Кооператив наметил изготовить партию мужских сорочек за 8 дней. Выпуская в день на 10 сорочек больше, чем предполагалось, он выполнил план за один день до срока. Сколько сорочек в день должен был выпускать кооператив?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество сорочек, которое кооператив планировал выпускать в день.

По плану, на изготовление всей партии отводилось 8 дней. Таким образом, общее количество сорочек в партии составляет $8 \cdot x$.

Из условия известно, что кооператив выпускал в день на 10 сорочек больше, чем предполагалось. Значит, его фактическая производительность была $(x + 10)$ сорочек в день.

Кооператив выполнил план на один день раньше срока, то есть затратил на работу $8 - 1 = 7$ дней.

За это время фактическое количество изготовленных сорочек составило $7 \cdot (x + 10)$.

Поскольку общее количество сорочек в партии не изменилось, мы можем приравнять плановое и фактическое количество и составить уравнение:

$8x = 7(x + 10)$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$8x = 7x + 70$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения:

$8x - 7x = 70$

$x = 70$

Таким образом, по плану кооператив должен был выпускать 70 сорочек в день.

Ответ: 70 сорочек.