Номер 771, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 771, страница 160.

771. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом. Концентрация соли в первом растворе составляла 10%, а во втором − 30%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация соли в котором оказалась равной 25%. Сколько раствора было в первом сосуде первоначально?

Для решения задачи введем переменную. Пусть масса раствора в первом сосуде равна $x$ кг. По условию, во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом, следовательно, масса раствора во втором сосуде составляет $(x + 2)$ кг.

Концентрация соли в первом растворе составляет 10%. Масса соли в первом сосуде равна произведению массы раствора на его концентрацию (выраженную в долях):
$m_{соли1} = 0.1 \cdot x$ кг.

Концентрация соли во втором растворе — 30%. Масса соли во втором сосуде равна:
$m_{соли2} = 0.3 \cdot (x + 2)$ кг.

После того как растворы слили в третий сосуд, общая масса нового раствора стала равна сумме масс исходных растворов:
$M_{общ} = x + (x + 2) = 2x + 2$ кг.

Общая масса соли в новом растворе стала равна сумме масс соли из двух исходных растворов:
$m_{соли\_общ} = 0.1x + 0.3(x + 2)$ кг.

Концентрация соли в полученном растворе оказалась равной 25%. Концентрация вычисляется по формуле: $C = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}}$. Подставим известные значения и составим уравнение:

$\frac{0.1x + 0.3(x + 2)}{2x + 2} = 0.25$

Решим полученное уравнение:

$0.1x + 0.3(x + 2) = 0.25(2x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0.1x + 0.3x + 0.6 = 0.5x + 0.5$

Приведем подобные слагаемые:

$0.4x + 0.6 = 0.5x + 0.5$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$0.6 - 0.5 = 0.5x - 0.4x$

$0.1 = 0.1x$

Найдем $x$:

$x = \frac{0.1}{0.1} = 1$

Следовательно, в первом сосуде первоначально был 1 кг раствора.

Ответ: 1 кг.