Номер 778, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 778, страница 160.

778. За 6 ч катер проходит по течению на 20 км меньше, чем за 10 ч против течения. Какова скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 15 км/ч?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v_т$ – скорость течения реки в км/ч. Это искомая величина.

По условию, скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) равна $v_к = 15$ км/ч.

Тогда скорость катера при движении по течению будет равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_к + v_т = (15 + v_т)$ км/ч.

Скорость катера при движении против течения будет равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = v_к - v_т = (15 - v_т)$ км/ч.

Теперь найдем расстояния, пройденные катером. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Расстояние, которое катер проходит по течению за 6 часов, равно:

$S_{по} = v_{по} \cdot 6 = 6 \cdot (15 + v_т)$ км.

Расстояние, которое катер проходит против течения за 10 часов, равно:

$S_{пр} = v_{пр} \cdot 10 = 10 \cdot (15 - v_т)$ км.

Из условия задачи известно, что расстояние, пройденное по течению, на 20 км меньше, чем расстояние, пройденное против течения. На основе этого составим уравнение:

$S_{пр} - S_{по} = 20$

Подставим выражения для расстояний в это уравнение:

$10 \cdot (15 - v_т) - 6 \cdot (15 + v_т) = 20$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $v_т$. Сначала раскроем скобки:

$150 - 10v_т - 90 - 6v_т = 20$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(150 - 90) + (-10v_т - 6v_т) = 20$

$60 - 16v_т = 20$

Перенесем слагаемые так, чтобы члены с переменной оказались с одной стороны, а свободные члены — с другой:

$60 - 20 = 16v_т$

$40 = 16v_т$

Чтобы найти $v_т$, разделим 40 на 16:

$v_т = \frac{40}{16}$

Сократим дробь на 8:

$v_т = \frac{5}{2} = 2.5$

Следовательно, скорость течения реки составляет 2,5 км/ч.

Выполним проверку для подтверждения результата.

Скорость по течению: $15 + 2.5 = 17.5$ км/ч.

Расстояние за 6 часов по течению: $17.5 \cdot 6 = 105$ км.

Скорость против течения: $15 - 2.5 = 12.5$ км/ч.

Расстояние за 10 часов против течения: $12.5 \cdot 10 = 125$ км.

Разница расстояний: $125 \text{ км} - 105 \text{ км} = 20 \text{ км}$. Условие задачи выполнено.

Ответ: скорость течения равна 2,5 км/ч.