Номер 776, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

776. Из А в В одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первым прибыл в В, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из А. Расстояние между А и В равно 120 км. Найдите скорости мотоциклистов и расстояние от места встречи до В.

Пусть $v_1$ — скорость первого (более быстрого) мотоциклиста, а $v_2$ — скорость второго мотоциклиста. Расстояние между пунктами А и В равно $S = 120$ км.

Согласно условию, скорость одного мотоциклиста в 1,5 раза больше скорости другого. Это означает, что $v_1$ — это скорость более быстрого мотоциклиста. Запишем это в виде уравнения: $v_1 = 1.5 \cdot v_2$

Мотоциклисты встретились через 2 часа 24 минуты после выезда из А. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $t = 2 \text{ ч } 24 \text{ мин} = 2 + \frac{24}{60} \text{ ч} = 2 + 0.4 \text{ ч} = 2.4 \text{ ч}$

К моменту встречи быстрый мотоциклист проехал расстояние от А до В ($120$ км) и часть пути обратно. Медленный мотоциклист за это же время проехал часть пути от А к В. Если сложить расстояния, которые проехали оба мотоциклиста до момента встречи, то получится удвоенное расстояние между А и В.

Путь, пройденный первым мотоциклистом: $d_1 = v_1 \cdot t$.
Путь, пройденный вторым мотоциклистом: $d_2 = v_2 \cdot t$.

Сумма их путей равна $d_1 + d_2 = 2S$.
Составим уравнение на основе этого факта: $v_1 \cdot t + v_2 \cdot t = 2S$
$(v_1 + v_2) \cdot t = 2S$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} v_1 = 1.5 v_2 \\ (v_1 + v_2) \cdot 2.4 = 2 \cdot 120 \end{cases} $

Для решения системы подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:
$(1.5 v_2 + v_2) \cdot 2.4 = 240$
$2.5 v_2 \cdot 2.4 = 240$
$6 v_2 = 240$
$v_2 = \frac{240}{6}$
$v_2 = 40$ км/ч

Теперь, зная скорость второго мотоциклиста, найдем скорость первого:
$v_1 = 1.5 \cdot v_2 = 1.5 \cdot 40 = 60$ км/ч

Ответ: скорости мотоциклистов равны 60 км/ч и 40 км/ч.

Чтобы найти расстояние от места встречи до пункта В, можно вычислить, какой путь проделал второй (медленный) мотоциклист от пункта А.

Он ехал из А в течение $t = 2.4$ часа со скоростью $v_2 = 40$ км/ч. Расстояние, которое он проехал от А до места встречи:
$d_{А,встреча} = v_2 \cdot t = 40 \cdot 2.4 = 96$ км.

Поскольку все расстояние от А до В равно 120 км, то расстояние от места встречи до В составит:
$d_{встреча,В} = S - d_{А,встреча} = 120 - 96 = 24$ км.

Для проверки можно выполнить расчет через первого мотоциклиста. Он доехал до В за $t_1 = \frac{120}{60} = 2$ часа. Встреча произошла через 2.4 часа, значит, он ехал обратно от В в течение $2.4 - 2 = 0.4$ часа. За это время он проехал $60 \text{ км/ч} \cdot 0.4 \text{ ч} = 24$ км. Результат совпадает.

Ответ: расстояние от места встречи до В равно 24 км.