Номер 769, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

769. Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:
а) 3(х² − х + 1) − 0,5х(4х − 6) является положительным числом;
б) у(2 + у − у²) − 23(6 + 3у + 1,5у²) является отрицательным числом.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения $3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6)$ является положительным числом при любых значениях переменной $x$, необходимо упростить это выражение.

1. Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на множитель перед ними:
$3(x^2 - x + 1) = 3 \cdot x^2 - 3 \cdot x + 3 \cdot 1 = 3x^2 - 3x + 3$
$-0,5x(4x - 6) = -0,5x \cdot 4x - 0,5x \cdot (-6) = -2x^2 + 3x$

2. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - 3x + 3) + (-2x^2 + 3x) = 3x^2 - 3x + 3 - 2x^2 + 3x$
$(3x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + 3 = x^2 + 0 + 3 = x^2 + 3$

3. Проанализируем полученное выражение $x^2 + 3$.
Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Следовательно, сумма $x^2 + 3$ всегда будет больше или равна $0 + 3 = 3$.
Так как $x^2 + 3 \ge 3$, а 3 — положительное число, то значение исходного выражения всегда положительно, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $x^2 + 3$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$, следовательно, выражение всегда является положительным числом.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$ является отрицательным числом при любых значениях переменной $y$, необходимо упростить это выражение.

1. Раскроем скобки. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,5$ как обыкновенную: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$y(2 + y - y^3) = y \cdot 2 + y \cdot y - y \cdot y^3 = 2y + y^2 - y^4$
$-\frac{2}{3}(6 + 3y + \frac{3}{2}y^2) = -\frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{2}{3} \cdot 3y - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}y^2 = -4 - 2y - y^2$

2. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(2y + y^2 - y^4) + (-4 - 2y - y^2) = 2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2$
$(-y^4) + (y^2 - y^2) + (2y - 2y) - 4 = -y^4 + 0 + 0 - 4 = -y^4 - 4$

3. Проанализируем полученное выражение $-y^4 - 4$.
Выражение $y^4$ (любое действительное число в четной степени) всегда неотрицательно, то есть $y^4 \ge 0$ при любом значении $y$.
Если умножить это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-y^4 \le 0$.
Следовательно, выражение $-y^4 - 4$ всегда будет меньше или равно $0 - 4 = -4$.
Так как $-y^4 - 4 \le -4$, а -4 — отрицательное число, то значение исходного выражения всегда отрицательно, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-y^4 - 4$. Так как $y^4 \ge 0$ для любого $y$, то $-y^4 \le 0$, и $-y^4 - 4 \le -4$, следовательно, выражение всегда является отрицательным числом.