Номер 766, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

766. Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.

Обозначим искомое трёхзначное число. Пусть $a$ — это цифра сотен, $b$ — цифра десятков. По условию, число оканчивается на 7, значит, цифра единиц равна 7. Тогда искомое число можно представить в виде $100a + 10b + 7$.

Если цифру 7 переставить на первое место, то получится новое число, у которого цифра сотен будет 7, цифра десятков — $a$, а цифра единиц — $b$. Это новое число можно записать как $700 + 10a + b$.

Согласно условию, новое число на 324 больше исходного. Это позволяет нам составить уравнение: $(100a + 10b + 7) + 324 = 700 + 10a + b$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть: $100a + 10b + 331 = 700 + 10a + b$

Перенесём все слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую: $100a - 10a + 10b - b = 700 - 331$

Приведём подобные слагаемые: $90a + 9b = 369$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы упростить его: $\frac{90a + 9b}{9} = \frac{369}{9}$ $10a + b = 41$

Выражение $10a + b$ представляет собой двузначное число, образованное первыми двумя цифрами исходного трёхзначного числа. Так как $a$ и $b$ — это цифры (целые числа от 0 до 9, причём $a \neq 0$), из уравнения $10a + b = 41$ однозначно следует, что $a = 4$ и $b = 1$.

Таким образом, искомое трёхзначное число состоит из цифр $a=4$, $b=1$ и $c=7$, то есть это число 417.

Выполним проверку: Исходное число — 417. Новое число, полученное перестановкой цифры 7 в начало, — 741. Разница между новым и исходным числом: $741 - 417 = 324$. Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 417.