Номер 760, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 8. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 760, страница 158.

760. Докажите, что:
а) сумма чисел ab и ba кратна сумме а и b;
б) разность чисел ab и ba кратна 9.

а)

Пусть $a$ и $b$ – это цифры, из которых состоят двузначные числа $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$. По определению, число $\overline{ab}$ можно представить в виде суммы разрядных слагаемых как $10a + b$. Аналогично, число $\overline{ba}$ можно представить как $10b + a$.

Найдем сумму этих чисел:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем слагаемые с $a$ и с $b$:

$(10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$11a + 11b = 11(a + b)$

Полученное выражение $11(a + b)$ представляет собой произведение числа 11 и суммы $(a + b)$. Чтобы проверить, кратна ли сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ сумме $a$ и $b$, разделим полученное выражение на $(a + b)$:

$\frac{11(a + b)}{a + b} = 11$

Поскольку в результате деления получается целое число 11, это доказывает, что сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда кратна сумме цифр $a$ и $b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Используем те же представления чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$, что и в предыдущем пункте: $\overline{ab} = 10a + b$ и $\overline{ba} = 10b + a$.

Найдем разность этих чисел. Порядок вычитания не имеет значения для свойства кратности, так как если число кратно 9, то и противоположное ему число кратно 9.

$\overline{ab} - \overline{ba} = (10a + b) - (10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$10a + b - 10b - a = (10a - a) + (b - 10b) = 9a - 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9a - 9b = 9(a - b)$

Полученное выражение $9(a - b)$ является произведением числа 9 и разности цифр $(a - b)$. Поскольку $a$ и $b$ – цифры, их разность $(a - b)$ является целым числом. Любое число, которое можно представить в виде произведения целого числа и 9, по определению кратно 9.

Чтобы убедиться в этом, разделим разность на 9:

$\frac{9(a - b)}{9} = a - b$

Результат деления – целое число $(a - b)$, что и доказывает, что разность чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда кратна 9.

Ответ: Что и требовалось доказать.