Номер 783, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 783, страница 161.

783. Разложите на множители:

а) а²⁰ −а¹⁰ + а⁵ ;
б) b⁶⁰ + b⁴⁰ − b²⁰;

в) а¹⁰ − а⁸ − а⁶;
г) b⁴⁰ + b²⁰ + b¹⁰.

а) Для разложения многочлена $a^{20} - a^{10} + a^5$ на множители необходимо найти общий множитель для всех его членов. Общим множителем является степень переменной с наименьшим показателем. В данном случае это $a^5$. Вынесем $a^5$ за скобки. При вынесении общего множителя за скобки показатели степеней каждого члена в скобках уменьшаются на 5.
$a^{20} - a^{10} + a^5 = a^5(a^{20-5} - a^{10-5} + a^{5-5}) = a^5(a^{15} - a^5 + 1)$.
Выражение в скобках $a^{15} - a^5 + 1$ далее не раскладывается на множители с целыми коэффициентами стандартными методами.
Ответ: $a^5(a^{15} - a^5 + 1)$

б) Рассмотрим многочлен $b^{60} + b^{40} - b^{20}$. Наименьшая степень переменной $b$ среди всех членов — это 20. Следовательно, общим множителем является $b^{20}$. Вынесем $b^{20}$ за скобки:
$b^{60} + b^{40} - b^{20} = b^{20}(b^{60-20} + b^{40-20} - b^{20-20}) = b^{20}(b^{40} + b^{20} - 1)$.
Полученный в скобках многочлен $b^{40} + b^{20} - 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.
Ответ: $b^{20}(b^{40} + b^{20} - 1)$

в) В выражении $a^{10} - a^8 - a^6$ наименьшая степень переменной $a$ равна 6. Вынесем $a^6$ как общий множитель за скобки:
$a^{10} - a^8 - a^6 = a^6(a^{10-6} - a^{8-6} - a^{6-6}) = a^6(a^4 - a^2 - 1)$.
Многочлен в скобках $a^4 - a^2 - 1$ не имеет простых целочисленных корней, поэтому его дальнейшее разложение стандартными методами не производится.
Ответ: $a^6(a^4 - a^2 - 1)$

г) В многочлене $b^{40} + b^{20} + b^{10}$ наименьшая степень переменной $b$ — это 10. Выносим $b^{10}$ как общий множитель за скобки:
$b^{40} + b^{20} + b^{10} = b^{10}(b^{40-10} + b^{20-10} + b^{10-10}) = b^{10}(b^{30} + b^{10} + 1)$.
Выражение в скобках $b^{30} + b^{10} + 1$ не раскладывается на более простые множители стандартными методами.
Ответ: $b^{10}(b^{30} + b^{10} + 1)$