Номер 785, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

785. Разложите на множители:
а) (а − 3b)(а + 2b) + 5а(а + 2b);
б) (х + 8y)(2х − 5b) − 8y(2х − 5b);
в) 7а²(а − х) + (6а² − ах)(х − а);
г) 11b²(3b − y) − (6y − 3b²)(y − 3b).

а) $(a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b)$
В данном выражении есть общий множитель $(a + 2b)$. Вынесем его за скобки:
$(a + 2b) \cdot ((a - 3b) + 5a)$
Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:
$a - 3b + 5a = (a + 5a) - 3b = 6a - 3b$
Получаем выражение:
$(a + 2b)(6a - 3b)$
Во второй скобке $(6a - 3b)$ можно вынести за скобки общий множитель 3:
$6a - 3b = 3(2a - b)$
Подставим это в наше выражение:
$(a + 2b) \cdot 3(2a - b) = 3(a + 2b)(2a - b)$
Ответ: $3(a + 2b)(2a - b)$

б) $(x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b)$
Общим множителем в этом выражении является $(2x - 5b)$. Вынесем его за скобки:
$(2x - 5b) \cdot ((x + 8y) - 8y)$
Упростим выражение во второй скобке:
$x + 8y - 8y = x$
Получаем итоговое выражение:
$(2x - 5b) \cdot x = x(2x - 5b)$
Ответ: $x(2x - 5b)$

в) $7a^2(a - x) + (6a^2 - ax)(x - a)$
Заметим, что множители $(a - x)$ и $(x - a)$ отличаются только знаком, то есть $(x - a) = -(a - x)$. Преобразуем второй член выражения:
$(6a^2 - ax)(x - a) = (6a^2 - ax)(-(a - x)) = -(6a^2 - ax)(a - x)$
Теперь исходное выражение выглядит так:
$7a^2(a - x) - (6a^2 - ax)(a - x)$
Вынесем общий множитель $(a - x)$ за скобки:
$(a - x) \cdot (7a^2 - (6a^2 - ax))$
Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:
$7a^2 - 6a^2 + ax = a^2 + ax$
Получаем:
$(a - x)(a^2 + ax)$
Во второй скобке $(a^2 + ax)$ можно вынести за скобки общий множитель $a$:
$a^2 + ax = a(a + x)$
Итоговое разложение на множители:
$(a - x) \cdot a(a + x) = a(a - x)(a + x)$
Ответ: $a(a - x)(a + x)$

г) $11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b)$
Заметим, что множители $(3b - y)$ и $(y - 3b)$ отличаются знаком: $(y - 3b) = -(3b - y)$. Преобразуем второй член выражения:
$-(6y - 3b^2)(y - 3b) = -(6y - 3b^2)(-(3b - y)) = +(6y - 3b^2)(3b - y)$
Теперь исходное выражение имеет вид:
$11b^2(3b - y) + (6y - 3b^2)(3b - y)$
Вынесем общий множитель $(3b - y)$ за скобки:
$(3b - y) \cdot (11b^2 + (6y - 3b^2))$
Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:
$11b^2 + 6y - 3b^2 = (11b^2 - 3b^2) + 6y = 8b^2 + 6y$
Получаем выражение:
$(3b - y)(8b^2 + 6y)$
Во второй скобке $(8b^2 + 6y)$ можно вынести за скобки общий множитель 2:
$8b^2 + 6y = 2(4b^2 + 3y)$
Итоговое разложение:
$(3b - y) \cdot 2(4b^2 + 3y) = 2(3b - y)(4b^2 + 3y)$
Ответ: $2(3b - y)(4b^2 + 3y)$