Страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

738. Найдите частное и остаток от деления:
а) 138 на 7; б) −16 на 3; в) −4 на 5.

а) Чтобы найти частное и остаток от деления 138 на 7, воспользуемся определением деления с остатком. Для целого числа $a$ (делимое) и натурального числа $b$ (делитель), существуют единственные целые числа $q$ (частное) и $r$ (остаток), такие что выполняется равенство $a = b \cdot q + r$, где $0 \le r < b$.

В данном случае $a = 138$ и $b = 7$.

Выполним деление 138 на 7. Ближайшее к 138 число, которое меньше его и делится на 7 без остатка, это 133.

$133 = 7 \cdot 19$.

Тогда мы можем записать 138 в следующем виде:

$138 = 133 + 5 = 7 \cdot 19 + 5$.

Из этого равенства видно, что частное $q = 19$, а остаток $r = 5$. Остаток удовлетворяет требуемому условию $0 \le 5 < 7$.

Ответ: частное 19, остаток 5.

б) Найдём частное и остаток от деления -16 на 3.

Здесь делимое $a = -16$ и делитель $b = 3$. Мы ищем такие целые числа $q$ и $r$, чтобы выполнялось равенство $-16 = 3 \cdot q + r$, при этом остаток $r$ должен удовлетворять условию $0 \le r < 3$.

Так как остаток должен быть неотрицательным, нам нужно найти такое кратное числу 3, которое меньше или равно -16. Ближайшее такое число — это -18.

$-18 = 3 \cdot (-6)$.

Теперь выразим -16 через -18:

$-16 = -18 + 2 = 3 \cdot (-6) + 2$.

В этом выражении частное $q = -6$, а остаток $r = 2$. Остаток $2$ удовлетворяет условию $0 \le 2 < 3$.

Ответ: частное -6, остаток 2.

в) Найдём частное и остаток от деления -4 на 5.

Здесь делимое $a = -4$ и делитель $b = 5$. Мы ищем целые числа $q$ и $r$, для которых справедливо равенство $-4 = 5 \cdot q + r$, при условии $0 \le r < 5$.

Остаток $r$ должен быть неотрицательным. Найдём кратное числу 5, которое меньше или равно -4. Таким числом является -5.

$-5 = 5 \cdot (-1)$.

Теперь выразим -4 через -5:

$-4 = -5 + 1 = 5 \cdot (-1) + 1$.

Отсюда следует, что частное $q = -1$, а остаток $r = 1$. Остаток $1$ удовлетворяет условию $0 \le 1 < 5$.

Ответ: частное -1, остаток 1.

739. Найдите наибольшее целое отрицательное число, которое при делении на 11 даёт остаток 1.

Пусть искомое число — это $N$. Согласно условию задачи, $N$ является целым отрицательным числом, которое при делении на 11 даёт в остатке 1.

Условие "число при делении на 11 даёт остаток 1" можно записать с помощью формулы деления с остатком:$N = 11 \cdot q + 1$где $q$ — это целое число (неполное частное), а $r=1$ — остаток. При этом должно выполняться условие $0 \le r < 11$, что для $r=1$ является верным.

Так как по условию число $N$ должно быть отрицательным, мы получаем неравенство:$N < 0$Подставив выражение для $N$, получим:$11 \cdot q + 1 < 0$

Теперь решим это неравенство относительно $q$:$11q < -1$$q < -\frac{1}{11}$

Поскольку $q$ должно быть целым числом, нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше, чем $-\frac{1}{11}$. Таким числом является $q = -1$.

Чтобы найти наибольшее возможное значение $N$, необходимо использовать наибольшее возможное значение $q$, так как значение $N = 11q + 1$ является возрастающей функцией от $q$. Подставим $q = -1$ в формулу для $N$:$N = 11 \cdot (-1) + 1 = -11 + 1 = -10$

Полученное число -10 является наибольшим целым отрицательным числом, удовлетворяющим условию. Если взять следующее по убыванию целое значение $q$ (например, $q = -2$), то получится меньшее число $N$: $N = 11 \cdot (-2) + 1 = -21$, а $-21 < -10$.

Ответ: -10

740. Укажите все целые числа а, которые при делении на 7 дают остаток 3, если −12 < а < 12.

По условию, целое число a при делении на 7 дает остаток 3. Это означает, что число a можно представить в виде формулы деления с остатком:
$ a = 7k + 3 $, где k — некоторое целое число (неполное частное).
Также нам дано условие, что a находится в интервале от -12 до 12, то есть выполняется двойное неравенство:
$ -12 < a < 12 $.
Чтобы найти все возможные значения a, подставим выражение для a в это неравенство и найдем, какие целые значения может принимать k:
$ -12 < 7k + 3 < 12 $
Решим это двойное неравенство относительно k. Сначала вычтем 3 из всех трех частей неравенства:
$ -12 - 3 < 7k + 3 - 3 < 12 - 3 $
$ -15 < 7k < 9 $
Теперь разделим все части неравенства на 7:
$ \frac{-15}{7} < k < \frac{9}{7} $
Для удобства представим дроби в виде смешанных чисел или десятичных дробей:
$ -2\frac{1}{7} < k < 1\frac{2}{7} $
или
$ \approx -2.14 < k < \approx 1.28 $
Целыми числами k, которые находятся в этом интервале, являются: -2, -1, 0, 1.
Теперь найдем соответствующие значения a для каждого из найденных значений k, используя исходную формулу $ a = 7k + 3 $:

• При $ k = -2 $: $ a = 7 \cdot (-2) + 3 = -14 + 3 = -11 $
• При $ k = -1 $: $ a = 7 \cdot (-1) + 3 = -7 + 3 = -4 $
• При $ k = 0 $: $ a = 7 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3 $
• При $ k = 1 $: $ a = 7 \cdot 1 + 3 = 7 + 3 = 10 $

Все найденные значения a (-11, -4, 3, 10) удовлетворяют обоим условиям задачи: они находятся в интервале (-12, 12) и при делении на 7 дают в остатке 3.

Ответ: -11, -4, 3, 10.