Страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

712. Пусть а, b, с и d − четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность cd − ab кратна 16.

Пусть $a, b, c, d$ — четыре последовательных нечётных числа. Разница между двумя последовательными нечётными числами равна 2.

Обозначим первое нечётное число $a$ через $2k+1$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда остальные числа можно выразить следующим образом:

$a = 2k + 1$
$b = a + 2 = (2k + 1) + 2 = 2k + 3$
$c = b + 2 = (2k + 3) + 2 = 2k + 5$
$d = c + 2 = (2k + 5) + 2 = 2k + 7$

Теперь необходимо доказать, что разность $cd - ab$ кратна 16. Подставим в это выражение полученные представления чисел:

$cd - ab = (2k + 5)(2k + 7) - (2k + 1)(2k + 3)$

Раскроем скобки для каждого произведения, используя правило умножения многочленов:

$(2k + 5)(2k + 7) = (2k \cdot 2k) + (2k \cdot 7) + (5 \cdot 2k) + (5 \cdot 7) = 4k^2 + 14k + 10k + 35 = 4k^2 + 24k + 35$

$(2k + 1)(2k + 3) = (2k \cdot 2k) + (2k \cdot 3) + (1 \cdot 2k) + (1 \cdot 3) = 4k^2 + 6k + 2k + 3 = 4k^2 + 8k + 3$

Теперь найдём их разность:

$cd - ab = (4k^2 + 24k + 35) - (4k^2 + 8k + 3)$

$cd - ab = 4k^2 + 24k + 35 - 4k^2 - 8k - 3$

Приведём подобные слагаемые:

$cd - ab = (4k^2 - 4k^2) + (24k - 8k) + (35 - 3) = 16k + 32$

Вынесем общий множитель 16 за скобки:

$cd - ab = 16(k + 2)$

Так как $k$ — целое число, то и сумма $k + 2$ также является целым числом. Полученное выражение $16(k+2)$ является произведением числа 16 и целого числа, следовательно, оно всегда делится на 16 без остатка.

Таким образом, доказано, что разность $cd - ab$ кратна 16 для любых четырёх последовательных нечётных чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

713. Решите уравнение:
а) (3x − 1)(5x + 4) − 15x² = 17;
б) (1 − 2x)(1 − 3x) = (6x − 1)x − 1;
в) 12 − x(x − 3) = (6 − x)(x + 2);
г) (x + 4)(x + 1) = x − (x − 2)(2 − x).

а) $(3x - 1)(5x + 4) - 15x^2 = 17$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x \cdot 5x + 3x \cdot 4 - 1 \cdot 5x - 1 \cdot 4 - 15x^2 = 17$

$15x^2 + 12x - 5x - 4 - 15x^2 = 17$

Приведем подобные слагаемые:

$(15x^2 - 15x^2) + (12x - 5x) - 4 = 17$

$7x - 4 = 17$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$7x = 17 + 4$

$7x = 21$

Найдем $x$:

$x = \frac{21}{7}$

$x = 3$

Ответ: $3$.

б) $(1 - 2x)(1 - 3x) = (6x - 1)x - 1$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$1 \cdot 1 + 1 \cdot (-3x) - 2x \cdot 1 - 2x \cdot (-3x) = 6x \cdot x - 1 \cdot x - 1$

$1 - 3x - 2x + 6x^2 = 6x^2 - x - 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$1 - 5x + 6x^2 = 6x^2 - x - 1$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены в правую:

$6x^2 - 5x - 6x^2 + x = -1 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x = -2$

Найдем $x$:

$x = \frac{-2}{-4}$

$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$

Ответ: $0.5$.

в) $12 - x(x - 3) = (6 - x)(x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$12 - (x^2 - 3x) = 6 \cdot x + 6 \cdot 2 - x \cdot x - x \cdot 2$

$12 - x^2 + 3x = 6x + 12 - x^2 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$12 - x^2 + 3x = 12 - x^2 + 4x$

Перенесем все члены в одну часть уравнения. Можно заметить, что члены $12$ и $-x^2$ есть в обеих частях, поэтому они взаимно уничтожаются:

$3x = 4x$

Перенесем $3x$ вправо:

$0 = 4x - 3x$

$0 = x$

Ответ: $0$.

г) $(x + 4)(x + 1) = x - (x - 2)(2 - x)$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 + x + 4x + 4 = x^2 + 5x + 4$

Теперь раскроем скобки в правой части. Обратим внимание на выражение $(x-2)(2-x)$. Можно вынести $-1$ из второй скобки: $(x-2)(-(x-2)) = -(x-2)^2$.

$(x-2)(2-x) = x \cdot 2 - x \cdot x - 2 \cdot 2 + 2 \cdot x = 2x - x^2 - 4 + 2x = -x^2 + 4x - 4$

Подставим это в правую часть исходного уравнения:

$x - (-x^2 + 4x - 4) = x + x^2 - 4x + 4 = x^2 - 3x + 4$

Теперь приравняем левую и правую части:

$x^2 + 5x + 4 = x^2 - 3x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону. Члены $x^2$ и $4$ взаимно уничтожаются:

$5x = -3x$

Перенесем $-3x$ в левую часть:

$5x + 3x = 0$

$8x = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

714. Найдите корень уравнения:
а) 5 + x² = (x + 1)(x + 6);
б) 2x(x − 8) = (x + 1)(2x − 3);
в) (3x − 2)(x + 4) − 3(x + 5)(x − 1) = 0;
г) x² + x(6 − 2x) = (x − 1)(2 − x) − 2.

а) $5 + x^2 = (x + 1)(x + 6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения, перемножив многочлены:
$(x + 1)(x + 6) = x \cdot x + x \cdot 6 + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 = x^2 + 6x + x + 6 = x^2 + 7x + 6$.
Теперь уравнение имеет вид:
$5 + x^2 = x^2 + 7x + 6$.
Перенесем все члены, содержащие переменную, в одну сторону, а свободные члены — в другую. Для этого вычтем $x^2$ и $6$ из обеих частей уравнения:
$5 - 6 = x^2 - x^2 + 7x$
$-1 = 7x$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 7:
$x = -\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{1}{7}$.

б) $2x(x - 8) = (x + 1)(2x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
В левой части:
$2x(x - 8) = 2x \cdot x - 2x \cdot 8 = 2x^2 - 16x$.
В правой части:
$(x + 1)(2x - 3) = x \cdot 2x + x \cdot (-3) + 1 \cdot 2x + 1 \cdot (-3) = 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 2x^2 - x - 3$.
Приравняем полученные выражения:
$2x^2 - 16x = 2x^2 - x - 3$.
Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$-16x = -x - 3$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, прибавив $x$ к обеим частям:
$-16x + x = -3$
$-15x = -3$.
Разделим обе части на -15, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-3}{-15} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) $(3x - 2)(x + 4) - 3(x + 5)(x - 1) = 0$

Сначала раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение:
$(3x - 2)(x + 4) = 3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = 3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x^2 + 10x - 8$.
Второе произведение:
$(x + 5)(x - 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$.
Подставим раскрытые скобки в исходное уравнение:
$(3x^2 + 10x - 8) - 3(x^2 + 4x - 5) = 0$.
Теперь раскроем вторые скобки, умножив каждый член на -3:
$3x^2 + 10x - 8 - 3x^2 - 12x + 15 = 0$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - 3x^2) + (10x - 12x) + (-8 + 15) = 0$
$0 - 2x + 7 = 0$
$-2x + 7 = 0$.
Перенесем 7 в правую часть:
$-2x = -7$.
Разделим обе части на -2:
$x = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: $3.5$.

г) $x^2 + x(6 - 2x) = (x - 1)(2 - x) - 2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
В левой части:
$x^2 + x(6 - 2x) = x^2 + 6x - 2x^2 = -x^2 + 6x$.
В правой части:
$(x - 1)(2 - x) - 2 = (x \cdot 2 + x \cdot (-x) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-x)) - 2 = (2x - x^2 - 2 + x) - 2 = (-x^2 + 3x - 2) - 2 = -x^2 + 3x - 4$.
Приравняем полученные выражения:
$-x^2 + 6x = -x^2 + 3x - 4$.
Прибавим $x^2$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от квадратичного члена:
$6x = 3x - 4$.
Вычтем $3x$ из обеих частей:
$6x - 3x = -4$
$3x = -4$.
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

715. Докажите, что:
а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) кратно 6;
б) при любом натуральном значении n, большем 2, значение выражения (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) кратно 12.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n + 5) - (n - 3)(n + 2)$ кратно 6 при любом натуральном значении $n$, необходимо упростить это выражение.

Сначала раскроем скобки в каждом из произведений:

$n(n + 5) = n^2 + 5n$

$(n - 3)(n + 2) = n \cdot n + n \cdot 2 - 3 \cdot n - 3 \cdot 2 = n^2 + 2n - 3n - 6 = n^2 - n - 6$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(n^2 + 5n) - (n^2 - n - 6)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$n^2 + 5n - n^2 + n + 6 = (n^2 - n^2) + (5n + n) + 6 = 6n + 6$

В полученном выражении $6n + 6$ вынесем общий множитель 6 за скобки:

$6(n + 1)$

По условию, $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, выражение $n + 1$ также будет натуральным числом. Произведение числа 6 на любое натуральное число всегда делится на 6 без остатка. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 6.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5)$ кратно 12 при любом натуральном значении $n$, большем 2, необходимо упростить это выражение.

Раскроем скобки. Первое произведение является формулой разности квадратов:

$(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

Раскроем второе произведение:

$(n - 7)(n - 5) = n \cdot n - n \cdot 5 - 7 \cdot n - 7 \cdot (-5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(n^2 - 1) - (n^2 - 12n + 35)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35 = (n^2 - n^2) + 12n + (-1 - 35) = 12n - 36$

В полученном выражении $12n - 36$ вынесем общий множитель 12 за скобки:

$12(n - 3)$

По условию, $n$ — натуральное число, большее 2 ($n > 2$), то есть $n$ может принимать значения $3, 4, 5, ...$ . В этом случае выражение $n - 3$ будет принимать значения $0, 1, 2, ...$ , то есть будет являться целым неотрицательным числом. Произведение числа 12 на любое целое число всегда делится на 12 без остатка. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 12.

Ответ: Утверждение доказано.

716. Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух остальных.

Обозначим три искомых последовательных натуральных числа через $n$, $n+1$ и $n+2$.

По условию задачи, квадрат меньшего из этих чисел ($n$) на 65 меньше, чем произведение двух других чисел ($n+1$ и $n+2$). Это можно записать в виде уравнения:

$n^2 = (n+1)(n+2) - 65$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в правой части:

$n^2 = (n^2 + n + 2n + 2) - 65$

$n^2 = n^2 + 3n + 2 - 65$

Приведем подобные слагаемые:

$n^2 = n^2 + 3n - 63$

Вычтем $n^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = 3n - 63$

Перенесем слагаемое с $n$ в левую часть (или 63 в левую часть):

$3n = 63$

Найдем $n$:

$n = \frac{63}{3}$

$n = 21$

Мы нашли меньшее из чисел. Так как числа последовательные, то следующие два числа будут $21 + 1 = 22$ и $21 + 2 = 23$.

Проверим найденное решение:

Квадрат меньшего числа: $21^2 = 441$.
Произведение двух остальных чисел: $22 \times 23 = 506$.
Разница между произведением и квадратом: $506 - 441 = 65$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 21, 22, 23.

717. Три последовательных нечётных числа таковы, что если из произведения двух больших чисел вычесть произведение двух меньших, то получится 76. Найдите эти числа.

Пусть три последовательных нечётных числа это $n-2$, $n$ и $n+2$, где $n$ - среднее нечётное число.

Два больших числа — это $n$ и $n+2$. Их произведение равно $n(n+2)$.

Два меньших числа — это $n-2$ и $n$. Их произведение равно $(n-2)n$.

По условию задачи, если из произведения двух больших чисел вычесть произведение двух меньших, то получится 76. Составим уравнение:

$n(n+2) - (n-2)n = 76$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$(n^2 + 2n) - (n^2 - 2n) = 76$

$n^2 + 2n - n^2 + 2n = 76$

Приведём подобные слагаемые:

$4n = 76$

Найдём $n$:

$n = \frac{76}{4}$

$n = 19$

Итак, среднее число равно 19. Теперь найдём остальные два числа:

• Меньшее число: $n-2 = 19-2 = 17$
• Большее число: $n+2 = 19+2 = 21$

Таким образом, искомые числа — 17, 19 и 21.

Проверка:

Произведение двух больших чисел: $19 \cdot 21 = 399$.

Произведение двух меньших чисел: $17 \cdot 19 = 323$.

Разность: $399 - 323 = 76$.

Условие задачи выполнено.

Ответ: 17, 19, 21.

718. Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см². Найдите длину и ширину первоначального прямоугол ьника.

Пусть $a$ — длина первоначального прямоугольника, а $b$ — его ширина (в сантиметрах).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 70 см. На основе этого составим первое уравнение:
$2(a + b) = 70$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 35$

Площадь первоначального прямоугольника равна $S = a \cdot b$.

Если длину уменьшить на 5 см, то новая длина будет равна $(a - 5)$ см. Если ширину увеличить на 5 см, то новая ширина будет равна $(b + 5)$ см.
Площадь нового прямоугольника будет равна $S_{нов} = (a - 5)(b + 5)$.

По условию, новая площадь на 50 см? больше первоначальной, то есть $S_{нов} = S + 50$. Составим второе уравнение, подставив выражения для площадей:
$(a - 5)(b + 5) = ab + 50$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки в левой части:
$ab + 5a - 5b - 25 = ab + 50$
Вычтем $ab$ из обеих частей уравнения:
$5a - 5b - 25 = 50$
Прибавим 25 к обеим частям:
$5a - 5b = 75$
Разделим обе части уравнения на 5:
$a - b = 15$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 35 \\ a - b = 15 \end{cases}$

Для решения системы сложим первое и второе уравнения:
$(a + b) + (a - b) = 35 + 15$
$2a = 50$
$a = 25$

Теперь подставим найденное значение $a = 25$ в первое уравнение ($a + b = 35$), чтобы найти $b$:
$25 + b = 35$
$b = 35 - 25$
$b = 10$

Следовательно, длина первоначального прямоугольника составляет 25 см, а его ширина — 10 см.

Ответ: длина 25 см, ширина 10 см.

719. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 2 см больше другой его стороны. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь квадрата на 30 см² меньше площади прямоугольника.

Пусть сторона квадрата равна $x$ см.

Согласно условию, сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника. Обозначим эту сторону прямоугольника как $a$. Тогда $a = x + 3$ см.

Также по условию, сторона квадрата на 2 см больше другой стороны прямоугольника. Обозначим эту сторону как $b$. Тогда $b = x - 2$ см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{квадрата} = x^2$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S_{прямоугольника} = a \cdot b$. Подставив выражения для $a$ и $b$, получим: $S_{прямоугольника} = (x + 3)(x - 2)$.

Известно, что площадь квадрата на 30 см? меньше площади прямоугольника. Это можно записать в виде уравнения: $S_{прямоугольника} = S_{квадрата} + 30$.

Подставим выражения для площадей в это уравнение: $(x + 3)(x - 2) = x^2 + 30$.

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя правило умножения многочленов: $x \cdot x + x \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2) = x^2 + 30$ $x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + 30$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $x^2 + x - 6 = x^2 + 30$.

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения: $x - 6 = 30$.

Перенесем -6 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $x = 30 + 6$.

$x = 36$.

Таким образом, мы нашли, что сторона квадрата равна 36 см.

Ответ: 36 см.

720. Дпя выполнения планового задания к определённому сроку бригада рабочих должна была изготовлять ежедневно 54 детали. Перевыполняя план на 6 деталей в день, бригада уже за один день до срока не только выполнила плановое задание, но и изготовила 18 деталей сверх плана. Сколько дней работала бригада?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество дней, которое было запланировано для выполнения всего задания.

По плану, бригада должна была изготавливать 54 детали ежедневно. Следовательно, общее количество деталей, которое необходимо было изготовить по плану, равно произведению дневной нормы на количество запланированных дней: $54x$ деталей.

Из условия известно, что бригада перевыполняла план на 6 деталей в день. Это значит, что их фактическая производительность составляла:
$54 + 6 = 60$ деталей в день.

Бригада закончила работу на один день раньше срока. Значит, фактическое время работы составило $x-1$ дней.

За это время бригада изготовила:
$60 \times (x-1)$ деталей.

Согласно условию, бригада не только выполнила плановое задание, но и изготовила 18 деталей сверх плана. Это означает, что количество фактически изготовленных деталей равно плановому количеству плюс 18 дополнительных деталей. Составим уравнение:
$60(x-1) = 54x + 18$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$60x - 60 = 54x + 18$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$60x - 54x = 18 + 60$
$6x = 78$
Найдем $x$:
$x = \frac{78}{6}$
$x = 13$

Таким образом, плановый срок выполнения задания составлял 13 дней.

Вопрос задачи заключается в том, сколько дней работала бригада. Так как они закончили на один день раньше, фактическое время работы составляет:
$x - 1 = 13 - 1 = 12$ дней.

Ответ: 12 дней.

721. Тракторная бригада должна была по плану вспахивать ежедневно 112 га. Перевыполняя план на 8 га в день, бригада уже за день до срока закончила пахоту. Сколько гектаров нужно было вспахать бригаде?

Пусть $x$ — это плановое количество дней, необходимое для вспашки всего поля. Тогда общая площадь поля, которую должна была вспахать бригада, равна произведению плановой дневной нормы на количество дней:

Площадь = $112 \cdot x$ га.

По условию, бригада перевыполняла план на 8 га в день. Это означает, что их фактическая производительность была:

$112 + 8 = 120$ га в день.

Также известно, что бригада закончила работу на 1 день раньше запланированного срока. Следовательно, фактическое время работы составило:

$x - 1$ день.

Общая площадь, вспаханная с фактической производительностью за фактическое время, составляет:

Площадь = $120 \cdot (x - 1)$ га.

Поскольку общая площадь поля не меняется, мы можем приравнять два полученных выражения для площади и составить уравнение:

$112x = 120(x - 1)$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$112x = 120x - 120$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$120x - 112x = 120$

$8x = 120$

$x = \frac{120}{8}$

$x = 15$

Таким образом, по плану работа должна была занять 15 дней.

Теперь, зная плановое количество дней, мы можем вычислить общую площадь поля, которую нужно было вспахать:

Площадь = $112 \cdot 15 = 1680$ га.

Для проверки можно рассчитать площадь, используя фактические данные: фактическая производительность 120 га/день и фактическое время $15 - 1 = 14$ дней.

$120 \cdot 14 = 1680$ га.

Оба результата совпадают.

Ответ: 1680 га.