Номер 712, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 712, страница 151.

712. Пусть а, b, с и d − четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность cd − ab кратна 16.

Пусть $a, b, c, d$ — четыре последовательных нечётных числа. Разница между двумя последовательными нечётными числами равна 2.

Обозначим первое нечётное число $a$ через $2k+1$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда остальные числа можно выразить следующим образом:

$a = 2k + 1$
$b = a + 2 = (2k + 1) + 2 = 2k + 3$
$c = b + 2 = (2k + 3) + 2 = 2k + 5$
$d = c + 2 = (2k + 5) + 2 = 2k + 7$

Теперь необходимо доказать, что разность $cd - ab$ кратна 16. Подставим в это выражение полученные представления чисел:

$cd - ab = (2k + 5)(2k + 7) - (2k + 1)(2k + 3)$

Раскроем скобки для каждого произведения, используя правило умножения многочленов:

$(2k + 5)(2k + 7) = (2k \cdot 2k) + (2k \cdot 7) + (5 \cdot 2k) + (5 \cdot 7) = 4k^2 + 14k + 10k + 35 = 4k^2 + 24k + 35$

$(2k + 1)(2k + 3) = (2k \cdot 2k) + (2k \cdot 3) + (1 \cdot 2k) + (1 \cdot 3) = 4k^2 + 6k + 2k + 3 = 4k^2 + 8k + 3$

Теперь найдём их разность:

$cd - ab = (4k^2 + 24k + 35) - (4k^2 + 8k + 3)$

$cd - ab = 4k^2 + 24k + 35 - 4k^2 - 8k - 3$

Приведём подобные слагаемые:

$cd - ab = (4k^2 - 4k^2) + (24k - 8k) + (35 - 3) = 16k + 32$

Вынесем общий множитель 16 за скобки:

$cd - ab = 16(k + 2)$

Так как $k$ — целое число, то и сумма $k + 2$ также является целым числом. Полученное выражение $16(k+2)$ является произведением числа 16 и целого числа, следовательно, оно всегда делится на 16 без остатка.

Таким образом, доказано, что разность $cd - ab$ кратна 16 для любых четырёх последовательных нечётных чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.