Номер 714, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

714. Найдите корень уравнения:
а) 5 + x² = (x + 1)(x + 6);
б) 2x(x − 8) = (x + 1)(2x − 3);
в) (3x − 2)(x + 4) − 3(x + 5)(x − 1) = 0;
г) x² + x(6 − 2x) = (x − 1)(2 − x) − 2.

а) $5 + x^2 = (x + 1)(x + 6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения, перемножив многочлены:
$(x + 1)(x + 6) = x \cdot x + x \cdot 6 + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 = x^2 + 6x + x + 6 = x^2 + 7x + 6$.
Теперь уравнение имеет вид:
$5 + x^2 = x^2 + 7x + 6$.
Перенесем все члены, содержащие переменную, в одну сторону, а свободные члены — в другую. Для этого вычтем $x^2$ и $6$ из обеих частей уравнения:
$5 - 6 = x^2 - x^2 + 7x$
$-1 = 7x$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 7:
$x = -\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{1}{7}$.

б) $2x(x - 8) = (x + 1)(2x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
В левой части:
$2x(x - 8) = 2x \cdot x - 2x \cdot 8 = 2x^2 - 16x$.
В правой части:
$(x + 1)(2x - 3) = x \cdot 2x + x \cdot (-3) + 1 \cdot 2x + 1 \cdot (-3) = 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 2x^2 - x - 3$.
Приравняем полученные выражения:
$2x^2 - 16x = 2x^2 - x - 3$.
Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$-16x = -x - 3$.
Перенесем члены с $x$ в левую часть, прибавив $x$ к обеим частям:
$-16x + x = -3$
$-15x = -3$.
Разделим обе части на -15, чтобы найти $x$:
$x = \frac{-3}{-15} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

в) $(3x - 2)(x + 4) - 3(x + 5)(x - 1) = 0$

Сначала раскроем скобки в каждом произведении.
Первое произведение:
$(3x - 2)(x + 4) = 3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = 3x^2 + 12x - 2x - 8 = 3x^2 + 10x - 8$.
Второе произведение:
$(x + 5)(x - 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$.
Подставим раскрытые скобки в исходное уравнение:
$(3x^2 + 10x - 8) - 3(x^2 + 4x - 5) = 0$.
Теперь раскроем вторые скобки, умножив каждый член на -3:
$3x^2 + 10x - 8 - 3x^2 - 12x + 15 = 0$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - 3x^2) + (10x - 12x) + (-8 + 15) = 0$
$0 - 2x + 7 = 0$
$-2x + 7 = 0$.
Перенесем 7 в правую часть:
$-2x = -7$.
Разделим обе части на -2:
$x = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: $3.5$.

г) $x^2 + x(6 - 2x) = (x - 1)(2 - x) - 2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.
В левой части:
$x^2 + x(6 - 2x) = x^2 + 6x - 2x^2 = -x^2 + 6x$.
В правой части:
$(x - 1)(2 - x) - 2 = (x \cdot 2 + x \cdot (-x) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-x)) - 2 = (2x - x^2 - 2 + x) - 2 = (-x^2 + 3x - 2) - 2 = -x^2 + 3x - 4$.
Приравняем полученные выражения:
$-x^2 + 6x = -x^2 + 3x - 4$.
Прибавим $x^2$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от квадратичного члена:
$6x = 3x - 4$.
Вычтем $3x$ из обеих частей:
$6x - 3x = -4$
$3x = -4$.
Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:
$x = -\frac{4}{3}$.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.