Номер 711, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 711, страница 150.

711. Докажите, что при всех целых n значение выражения:
а) n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) делится на 6;
б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) делится на 7.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n - 1) - (n + 3)(n + 2)$ делится на 6 при всех целых $n$, необходимо упростить данное выражение.
Раскроем скобки в каждой части выражения:
$n(n - 1) = n^2 - n$
$(n + 3)(n + 2) = n \cdot n + n \cdot 2 + 3 \cdot n + 3 \cdot 2 = n^2 + 5n + 6$
Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:
$(n^2 - n) - (n^2 + 5n + 6)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$n^2 - n - n^2 - 5n - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (-n - 5n) - 6 = -6n - 6$
Вынесем общий множитель -6 за скобки:
$-6(n + 1)$
Поскольку $n$ является целым числом, то и сумма $(n + 1)$ также будет целым числом. Произведение числа -6 на любое целое число всегда делится на 6. Таким образом, мы доказали, что выражение делится на 6 при любом целом $n$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n + 2) - (n - 7)(n - 5)$ делится на 7 при всех целых $n$, необходимо упростить данное выражение.
Раскроем скобки в каждой части выражения:
$n(n + 2) = n^2 + 2n$
$(n - 7)(n - 5) = n \cdot n - n \cdot 5 - 7 \cdot n + 7 \cdot 5 = n^2 - 12n + 35$
Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:
$(n^2 + 2n) - (n^2 - 12n + 35)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (2n + 12n) - 35 = 14n - 35$
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7(2n - 5)$
Поскольку $n$ является целым числом, то и выражение $(2n - 5)$ также будет целым числом. Произведение числа 7 на любое целое число всегда делится на 7. Таким образом, мы доказали, что выражение делится на 7 при любом целом $n$.
Ответ: Что и требовалось доказать.