Номер 706, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

706. Докажите, что при любом значении х:
а) значение выражения (х − 3)(х + 7) − (х + 5)(х − 1) равно −16;
б) значение выражения х⁴ + (х² − 7)(x² + 7) равно 49.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(x-3)(x+7)-(x+5)(x-1)$ равно $-16$ при любом значении $x$, необходимо упростить данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

1. Раскроем произведение $(x-3)(x+7)$:
$(x-3)(x+7) = x \cdot x + x \cdot 7 - 3 \cdot x - 3 \cdot 7 = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21$.

2. Раскроем произведение $(x+5)(x-1)$:
$(x+5)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$.

3. Подставим полученные многочлены в исходное выражение и раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторым многочленом:
$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 + 4x - 5) = x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5$.

4. Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (-21 + 5) = 0 + 0 - 16 = -16$.

Так как в результате преобразований переменная $x$ сократилась, значение выражения не зависит от $x$ и всегда равно $-16$, что и требовалось доказать.
Ответ: $-16$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $x^4-(x^2-7)(x^2+7)$ равно $49$ при любом значении $x$, упростим данное выражение.

Заметим, что произведение $(x^2-7)(x^2+7)$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой сокращённого умножения $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где в нашем случае $a = x^2$ и $b = 7$.

1. Применим формулу разности квадратов:
$(x^2-7)(x^2+7) = (x^2)^2 - 7^2 = x^4 - 49$.

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:
$x^4 - (x^4 - 49)$.

3. Раскроем скобки, поменяв знаки на противоположные, и приведём подобные слагаемые:
$x^4 - x^4 + 49 = (x^4 - x^4) + 49 = 0 + 49 = 49$.

Так как в результате преобразований переменная $x$ сократилась, значение выражения не зависит от $x$ и всегда равно $49$, что и требовалось доказать.
Ответ: $49$.