Номер 700, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 29. Умножение многочлена на многочлен - номер 700, страница 150.

Условие.

700. Запишите в виде многочлена:

а) (с² − cd − d²)(с + d);
б) (х − y)(x² − ху − у²);

в) (4а² + а + 3)(а − 1);
г) (3 − х)(3х² + х − 4).

Решение 1.

а) (с² − cd − d²)(с + d) =
= c³ + c²d - c²d - cd² - d³
= c³ - cd² - d³;

б) (х − y)(x² − ху − у²) =
= x³ - x²y - xy² + xy² - x²y + y³ =
= x³ - 2x²y + y³;

в) (4а² + а + 3)(а − 1) =
= 4a³ - 4a² + a² - a + 3a -3 =
= 4a³ - 3a² + 2a - 3;

г) (3 − х)(3х² + х − 4) =
= 9x² + 3x - 12 - 3x³ - x² + 4x =
= -3x³ + 8x² + 7x - 12.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы записать выражение $(c^2 - cd - d^2)(c + d)$ в виде многочлена, необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго. Это можно сделать пошагово:
$(c^2 - cd - d^2)(c + d) = c^2(c + d) - cd(c + d) - d^2(c + d)$
Раскроем скобки:
$c^3 + c^2d - c^2d - cd^2 - cd^2 - d^3$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$c^3 + (c^2d - c^2d) + (-cd^2 - cd^2) - d^3 = c^3 + 0 - 2cd^2 - d^3$
В результате получаем многочлен:
$c^3 - 2cd^2 - d^3$
Ответ: $c^3 - 2cd^2 - d^3$.

б) Для преобразования выражения $(x - y)(x^2 - xy - y^2)$ в многочлен, умножим каждый член первого многочлена на второй многочлен:
$(x - y)(x^2 - xy - y^2) = x(x^2 - xy - y^2) - y(x^2 - xy - y^2)$
Раскроем скобки:
$x \cdot x^2 - x \cdot xy - x \cdot y^2 - y \cdot x^2 - y \cdot (-xy) - y \cdot (-y^2) = x^3 - x^2y - xy^2 - x^2y + xy^2 + y^3$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-x^2y - x^2y) + (-xy^2 + xy^2) + y^3 = x^3 - 2x^2y + 0 + y^3$
В результате получаем многочлен:
$x^3 - 2x^2y + y^3$
Ответ: $x^3 - 2x^2y + y^3$.

в) Чтобы записать выражение $(4a^2 + a + 3)(a - 1)$ в виде многочлена, умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(4a^2 + a + 3)(a - 1) = 4a^2 \cdot a - 4a^2 \cdot 1 + a \cdot a - a \cdot 1 + 3 \cdot a - 3 \cdot 1$
Выполним умножение:
$4a^3 - 4a^2 + a^2 - a + 3a - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$4a^3 + (-4a^2 + a^2) + (-a + 3a) - 3 = 4a^3 - 3a^2 + 2a - 3$
В результате получаем многочлен:
$4a^3 - 3a^2 + 2a - 3$
Ответ: $4a^3 - 3a^2 + 2a - 3$.

г) Для преобразования выражения $(3 - x)(3x^2 + x - 4)$ в многочлен, умножим каждый член первого многочлена на второй:
$(3 - x)(3x^2 + x - 4) = 3(3x^2 + x - 4) - x(3x^2 + x - 4)$
Раскроем скобки:
$3 \cdot 3x^2 + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) - x \cdot 3x^2 - x \cdot x - x \cdot (-4) = 9x^2 + 3x - 12 - 3x^3 - x^2 + 4x$
Сгруппируем подобные слагаемые и расположим их в порядке убывания степеней переменной $x$:
$-3x^3 + (9x^2 - x^2) + (3x + 4x) - 12 = -3x^3 + 8x^2 + 7x - 12$
В результате получаем многочлен:
$-3x^3 + 8x^2 + 7x - 12$
Ответ: $-3x^3 + 8x^2 + 7x - 12$.