Страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

700. Запишите в виде многочлена:

а) Чтобы записать выражение $(c^2 - cd - d^2)(c + d)$ в виде многочлена, необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго. Это можно сделать пошагово:
$(c^2 - cd - d^2)(c + d) = c^2(c + d) - cd(c + d) - d^2(c + d)$
Раскроем скобки:
$c^3 + c^2d - c^2d - cd^2 - cd^2 - d^3$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$c^3 + (c^2d - c^2d) + (-cd^2 - cd^2) - d^3 = c^3 + 0 - 2cd^2 - d^3$
В результате получаем многочлен:
$c^3 - 2cd^2 - d^3$
Ответ: $c^3 - 2cd^2 - d^3$.

б) Для преобразования выражения $(x - y)(x^2 - xy - y^2)$ в многочлен, умножим каждый член первого многочлена на второй многочлен:
$(x - y)(x^2 - xy - y^2) = x(x^2 - xy - y^2) - y(x^2 - xy - y^2)$
Раскроем скобки:
$x \cdot x^2 - x \cdot xy - x \cdot y^2 - y \cdot x^2 - y \cdot (-xy) - y \cdot (-y^2) = x^3 - x^2y - xy^2 - x^2y + xy^2 + y^3$
Приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (-x^2y - x^2y) + (-xy^2 + xy^2) + y^3 = x^3 - 2x^2y + 0 + y^3$
В результате получаем многочлен:
$x^3 - 2x^2y + y^3$
Ответ: $x^3 - 2x^2y + y^3$.

в) Чтобы записать выражение $(4a^2 + a + 3)(a - 1)$ в виде многочлена, умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(4a^2 + a + 3)(a - 1) = 4a^2 \cdot a - 4a^2 \cdot 1 + a \cdot a - a \cdot 1 + 3 \cdot a - 3 \cdot 1$
Выполним умножение:
$4a^3 - 4a^2 + a^2 - a + 3a - 3$
Приведем подобные слагаемые:
$4a^3 + (-4a^2 + a^2) + (-a + 3a) - 3 = 4a^3 - 3a^2 + 2a - 3$
В результате получаем многочлен:
$4a^3 - 3a^2 + 2a - 3$
Ответ: $4a^3 - 3a^2 + 2a - 3$.

г) Для преобразования выражения $(3 - x)(3x^2 + x - 4)$ в многочлен, умножим каждый член первого многочлена на второй:
$(3 - x)(3x^2 + x - 4) = 3(3x^2 + x - 4) - x(3x^2 + x - 4)$
Раскроем скобки:
$3 \cdot 3x^2 + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) - x \cdot 3x^2 - x \cdot x - x \cdot (-4) = 9x^2 + 3x - 12 - 3x^3 - x^2 + 4x$
Сгруппируем подобные слагаемые и расположим их в порядке убывания степеней переменной $x$:
$-3x^3 + (9x^2 - x^2) + (3x + 4x) - 12 = -3x^3 + 8x^2 + 7x - 12$
В результате получаем многочлен:
$-3x^3 + 8x^2 + 7x - 12$
Ответ: $-3x^3 + 8x^2 + 7x - 12$.

701. Представьте в виде многочлена:

а) Чтобы представить выражение $y^2(y+5)(y-3)$ в виде многочлена, сначала перемножим выражения в скобках. Используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена на каждый член другого), получаем: $(y+5)(y-3) = y \cdot y + y \cdot (-3) + 5 \cdot y + 5 \cdot (-3) = y^2 - 3y + 5y - 15$. Приведя подобные слагаемые, получаем $y^2 + 2y - 15$. Теперь необходимо умножить полученный многочлен на одночлен $y^2$: $y^2(y^2 + 2y - 15) = y^2 \cdot y^2 + y^2 \cdot 2y - y^2 \cdot 15 = y^4 + 2y^3 - 15y^2$.
Ответ: $y^4 + 2y^3 - 15y^2$.

б) Рассмотрим выражение $2a^2(a-1)(3-a)$. Сначала выполним умножение скобок: $(a-1)(3-a) = a \cdot 3 + a \cdot (-a) - 1 \cdot 3 - 1 \cdot (-a) = 3a - a^2 - 3 + a$. Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $-a^2 + 4a - 3$. Далее умножим полученный результат на $2a^2$: $2a^2(-a^2 + 4a - 3) = 2a^2 \cdot (-a^2) + 2a^2 \cdot 4a + 2a^2 \cdot (-3) = -2a^4 + 8a^3 - 6a^2$.
Ответ: $-2a^4 + 8a^3 - 6a^2$.

в) Преобразуем выражение $-3b^3(b+2)(1-b)$. Умножим многочлены в скобках: $(b+2)(1-b) = b \cdot 1 + b \cdot (-b) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-b) = b - b^2 + 2 - 2b$. Приводим подобные члены и упорядочиваем по степеням: $-b^2 - b + 2$. Теперь умножаем результат на одночлен $-3b^3$: $-3b^3(-b^2 - b + 2) = (-3b^3) \cdot (-b^2) + (-3b^3) \cdot (-b) + (-3b^3) \cdot 2 = 3b^5 + 3b^4 - 6b^3$.
Ответ: $3b^5 + 3b^4 - 6b^3$.

г) Представим в виде многочлена $-0,5c^2(2c-3)(4-c^2)$. Начнем с умножения выражений в скобках: $(2c-3)(4-c^2) = 2c \cdot 4 + 2c \cdot (-c^2) - 3 \cdot 4 - 3 \cdot (-c^2) = 8c - 2c^3 - 12 + 3c^2$. Запишем полученный многочлен в стандартном виде: $-2c^3 + 3c^2 + 8c - 12$. Наконец, умножим его на $-0,5c^2$: $-0,5c^2(-2c^3 + 3c^2 + 8c - 12) = (-0,5c^2) \cdot (-2c^3) + (-0,5c^2) \cdot (3c^2) + (-0,5c^2) \cdot (8c) + (-0,5c^2) \cdot (-12) = c^5 - 1,5c^4 - 4c^3 + 6c^2$.
Ответ: $c^5 - 1,5c^4 - 4c^3 + 6c^2$.

702. Запишите в виде многочлена выражение:
а) (х + 1)(х + 2)(х + 3);
б) (а − 1)(а − 4)(а + 5).

а) Чтобы записать выражение $(x + 1)(x + 2)(x + 3)$ в виде многочлена, мы будем последовательно перемножать скобки.

Сначала перемножим первые две скобки: $(x + 1)(x + 2)$.

$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.

Теперь умножим полученный многочлен на третью скобку $(x + 3)$:

$(x^2 + 3x + 2)(x + 3) = x^2(x + 3) + 3x(x + 3) + 2(x + 3) = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (3x^2 + 3x^2) + (9x + 2x) + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$.

Ответ: $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$.

б) Чтобы записать выражение $(a - 1)(a - 4)(a + 5)$ в виде многочлена, поступим аналогично.

Сначала перемножим первые две скобки: $(a - 1)(a - 4)$.

$(a - 1)(a - 4) = a \cdot a + a \cdot (-4) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-4) = a^2 - 4a - a + 4 = a^2 - 5a + 4$.

Теперь умножим полученный многочлен на третью скобку $(a + 5)$:

$(a^2 - 5a + 4)(a + 5) = a^2(a + 5) - 5a(a + 5) + 4(a + 5) = a^3 + 5a^2 - 5a^2 - 25a + 4a + 20$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (5a^2 - 5a^2) + (-25a + 4a) + 20 = a^3 - 21a + 20$.

Ответ: $a^3 - 21a + 20$.

703. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(3b - 2)(5 - 2b) + 6b^2$ сначала раскроем скобки, перемножив два многочлена:
$(3b - 2)(5 - 2b) = 3b \cdot 5 + 3b \cdot (-2b) - 2 \cdot 5 - 2 \cdot (-2b) = 15b - 6b^2 - 10 + 4b$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное и приведем подобные слагаемые:
$(15b - 6b^2 - 10 + 4b) + 6b^2 = (15b + 4b) + (-6b^2 + 6b^2) - 10 = 19b - 10$.
Ответ: $19b - 10$.

б) Для упрощения выражения $(7y - 4)(2y + 3) - 13y$ раскроем скобки:
$(7y - 4)(2y + 3) = 7y \cdot 2y + 7y \cdot 3 - 4 \cdot 2y - 4 \cdot 3 = 14y^2 + 21y - 8y - 12$.
Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:
$14y^2 + (21y - 8y) - 12 = 14y^2 + 13y - 12$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(14y^2 + 13y - 12) - 13y = 14y^2 + (13y - 13y) - 12 = 14y^2 - 12$.
Ответ: $14y^2 - 12$.

в) Упростим выражение $x^3 - (x^2 - 3x)(x + 3)$. Сначала преобразуем произведение в скобках. Можно вынести $x$ за скобку и использовать формулу разности квадратов:
$(x^2 - 3x)(x + 3) = x(x - 3)(x + 3) = x(x^2 - 3^2) = x(x^2 - 9) = x^3 - 9x$.
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$x^3 - (x^3 - 9x) = x^3 - x^3 + 9x = 9x$.
Ответ: $9x$.

г) Упростим выражение $5b^3 + (a^2 + 5b)(ab - b^2)$. Раскроем скобки:
$(a^2 + 5b)(ab - b^2) = a^2 \cdot ab + a^2 \cdot (-b^2) + 5b \cdot ab + 5b \cdot (-b^2) = a^3b - a^2b^2 + 5ab^2 - 5b^3$.
Подставим в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$5b^3 + (a^3b - a^2b^2 + 5ab^2 - 5b^3) = (5b^3 - 5b^3) + a^3b - a^2b^2 + 5ab^2 = a^3b - a^2b^2 + 5ab^2$.
Ответ: $a^3b - a^2b^2 + 5ab^2$.

д) Упростим выражение $(a - b)(a + 2) - (a + b)(a - 2)$. Раскроем скобки в каждой части выражения:
$(a - b)(a + 2) = a^2 + 2a - ab - 2b$.
$(a + b)(a - 2) = a^2 - 2a + ab - 2b$.
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(a^2 + 2a - ab - 2b) - (a^2 - 2a + ab - 2b) = a^2 + 2a - ab - 2b - a^2 + 2a - ab + 2b$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (2a + 2a) + (-ab - ab) + (-2b + 2b) = 4a - 2ab$.
Ответ: $4a - 2ab$.

е) Упростим выражение $(x + y)(x - y) - (x - 1)(x - 2)$.
Первая часть выражения является формулой разности квадратов: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
Раскроем скобки во второй части:
$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(x^2 - y^2) - (x^2 - 3x + 2) = x^2 - y^2 - x^2 + 3x - 2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) - y^2 + 3x - 2 = -y^2 + 3x - 2$.
Ответ: $3x - y^2 - 2$.

704. Верно ли утверждение:
а) чтобы найти значение выражения (3а − 2b)(2а − 3b) − 6а(а − d) + 7ab, надо знать только значение переменной а;
б) чтобы найти значение выражения (3а − 2b)(2a − 3b) − 6а(а − b) + 7ab, надо знать только значение переменной b;
в) значение выражения (3а − 2b)(2a − 3b) − 6а(а − b) + 7ab не зависит от значений переменных?

Для того чтобы проверить верность утверждений, необходимо упростить исходное выражение: $(3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b) + 7ab$.

1. Раскроем произведение первых двух скобок, используя правило умножения многочленов:
$(3a - 2b)(2a - 3b) = 3a \cdot 2a + 3a \cdot (-3b) - 2b \cdot 2a - 2b \cdot (-3b) = 6a^2 - 9ab - 4ab + 6b^2$.
Приведем подобные слагаемые: $6a^2 - 13ab + 6b^2$.

2. Раскроем скобки во втором члене выражения:
$-6a(a - b) = -6a \cdot a - 6a \cdot (-b) = -6a^2 + 6ab$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(6a^2 - 13ab + 6b^2) - 6a^2 + 6ab + 7ab = (6a^2 - 6a^2) + (-13ab + 6ab + 7ab) + 6b^2$.

Сгруппируем и сложим коэффициенты при одинаковых переменных:
Для $a^2$: $6 - 6 = 0$.
Для $ab$: $-13 + 6 + 7 = 0$.
Для $b^2$: $6$.

В результате упрощения получаем: $0 \cdot a^2 + 0 \cdot ab + 6b^2 = 6b^2$.

Таким образом, исходное выражение тождественно равно $6b^2$. Теперь проанализируем каждое утверждение.

а) Утверждается, что для нахождения значения выражения нужно знать только значение переменной $a$.
Упрощенное выражение $6b^2$ зависит только от переменной $b$ и никак не зависит от переменной $a$. Следовательно, это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

б) Утверждается, что для нахождения значения выражения нужно знать только значение переменной $b$.
Поскольку упрощенное выражение равно $6b^2$, его значение действительно зависит только от значения $b$. Следовательно, это утверждение верно.
Ответ: верно.

в) Утверждается, что значение выражения не зависит от значений переменных.
Упрощенное выражение $6b^2$ зависит от значения переменной $b$. Например, при $b=1$ значение выражения равно $6$, а при $b=2$ оно равно $24$. Так как значение меняется в зависимости от $b$, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

705. Зная, что a = 3х − 1, d = х + 1, с = 2х + 4, d = 6х − 5, представьте в виде многочлена с переменной х выражение ас − bd.

Чтобы представить выражение $ac - bd$ в виде многочлена с переменной $x$, необходимо подставить в него заданные выражения для $a, b, c$ и $d$ и выполнить алгебраические преобразования.

Даны выражения:

$a = 3x - 1$

$b = x + 1$

$c = 2x + 4$

$d = 6x - 5$

Подставим эти выражения в $ac - bd$:

$ac - bd = (3x - 1)(2x + 4) - (x + 1)(6x - 5)$

Выполним решение по шагам.

1. Сначала раскроем скобки для произведения $ac$, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$ac = (3x - 1)(2x + 4) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 4 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 4 = 6x^2 + 12x - 2x - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$6x^2 + (12x - 2x) - 4 = 6x^2 + 10x - 4$

2. Теперь раскроем скобки для произведения $bd$:

$bd = (x + 1)(6x - 5) = x \cdot 6x + x \cdot (-5) + 1 \cdot 6x + 1 \cdot (-5) = 6x^2 - 5x + 6x - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$6x^2 + (-5x + 6x) - 5 = 6x^2 + x - 5$

3. Теперь вычтем второй полученный многочлен из первого:

$ac - bd = (6x^2 + 10x - 4) - (6x^2 + x - 5)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$6x^2 + 10x - 4 - 6x^2 - x + 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - 6x^2) + (10x - x) + (-4 + 5) = 0x^2 + 9x + 1 = 9x + 1$

Ответ: $9x + 1$

706. Докажите, что при любом значении х:
а) значение выражения (х − 3)(х + 7) − (х + 5)(х − 1) равно −16;
б) значение выражения х⁴ + (х² − 7)(x² + 7) равно 49.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(x-3)(x+7)-(x+5)(x-1)$ равно $-16$ при любом значении $x$, необходимо упростить данное выражение. Для этого раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

1. Раскроем произведение $(x-3)(x+7)$:
$(x-3)(x+7) = x \cdot x + x \cdot 7 - 3 \cdot x - 3 \cdot 7 = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21$.

2. Раскроем произведение $(x+5)(x-1)$:
$(x+5)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$.

3. Подставим полученные многочлены в исходное выражение и раскроем скобки, учитывая знак минус перед вторым многочленом:
$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 + 4x - 5) = x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5$.

4. Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (-21 + 5) = 0 + 0 - 16 = -16$.

Так как в результате преобразований переменная $x$ сократилась, значение выражения не зависит от $x$ и всегда равно $-16$, что и требовалось доказать.
Ответ: $-16$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $x^4-(x^2-7)(x^2+7)$ равно $49$ при любом значении $x$, упростим данное выражение.

Заметим, что произведение $(x^2-7)(x^2+7)$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой сокращённого умножения $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где в нашем случае $a = x^2$ и $b = 7$.

1. Применим формулу разности квадратов:
$(x^2-7)(x^2+7) = (x^2)^2 - 7^2 = x^4 - 49$.

2. Подставим полученный результат в исходное выражение:
$x^4 - (x^4 - 49)$.

3. Раскроем скобки, поменяв знаки на противоположные, и приведём подобные слагаемые:
$x^4 - x^4 + 49 = (x^4 - x^4) + 49 = 0 + 49 = 49$.

Так как в результате преобразований переменная $x$ сократилась, значение выражения не зависит от $x$ и всегда равно $49$, что и требовалось доказать.
Ответ: $49$.

707. Докажите тождество:
а) (с − 8)(с + 3) = с² − 5с − 24;
б) m² + 3m − 28 = (m − 4)(m + 7).

a) Чтобы доказать тождество $(c - 8)(c + 3) = c^2 - 5c - 24$, преобразуем его левую часть. Для этого умножим многочлен $(c - 8)$ на многочлен $(c + 3)$, раскрыв скобки:

$(c - 8)(c + 3) = c \cdot c + c \cdot 3 - 8 \cdot c - 8 \cdot 3 = c^2 + 3c - 8c - 24$

Теперь приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$c^2 + (3c - 8c) - 24 = c^2 - 5c - 24$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части: $c^2 - 5c - 24 = c^2 - 5c - 24$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Преобразовав левую часть выражения $(c - 8)(c + 3)$, мы получили $c^2 - 5c - 24$, что полностью совпадает с правой частью. Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $m^2 + 3m - 28 = (m - 4)(m + 7)$, преобразуем его правую часть. Раскроем скобки путем умножения многочленов:

$(m - 4)(m + 7) = m \cdot m + m \cdot 7 - 4 \cdot m - 4 \cdot 7 = m^2 + 7m - 4m - 28$

Приведем подобные слагаемые:

$m^2 + (7m - 4m) - 28 = m^2 + 3m - 28$

В результате преобразования правая часть тождества стала равна левой части: $m^2 + 3m - 28 = m^2 + 3m - 28$. Тождество доказано.

Ответ: Преобразовав правую часть выражения $(m - 4)(m + 7)$, мы получили $m^2 + 3m - 28$, что полностью совпадает с левой частью. Тождество доказано.

708. Докажите тождество:
а) (х − 3)(х + 7) − 13 = (х + 8)(х − 4) − 2;
б) 16 − (а + 3)(а + 2) = 4 − (6 + а)(а − 1).

а) Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую и правую части и показать, что они равны.
Преобразуем левую часть:
$(x - 3)(x + 7) - 13 = x \cdot x + x \cdot 7 - 3 \cdot x - 3 \cdot 7 - 13 = x^2 + 7x - 3x - 21 - 13 = x^2 + 4x - 34$.
Теперь преобразуем правую часть:
$(x + 8)(x - 4) - 2 = x \cdot x + x \cdot (-4) + 8 \cdot x + 8 \cdot (-4) - 2 = x^2 - 4x + 8x - 32 - 2 = x^2 + 4x - 34$.
Сравним полученные выражения:
$x^2 + 4x - 34 = x^2 + 4x - 34$.
Так как после преобразований левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.
Преобразуем левую часть:
$16 - (a + 3)(a + 2) = 16 - (a \cdot a + a \cdot 2 + 3 \cdot a + 3 \cdot 2) = 16 - (a^2 + 2a + 3a + 6) = 16 - (a^2 + 5a + 6) = 16 - a^2 - 5a - 6 = -a^2 - 5a + 10$.
Теперь преобразуем правую часть:
$4 - (6 + a)(a - 1) = 4 - (6 \cdot a + 6 \cdot (-1) + a \cdot a + a \cdot (-1)) = 4 - (6a - 6 + a^2 - a) = 4 - (a^2 + 5a - 6) = 4 - a^2 - 5a + 6 = -a^2 - 5a + 10$.
Сравним полученные выражения:
$-a^2 - 5a + 10 = -a^2 - 5a + 10$.
Так как левая и правая части после преобразований оказались равны, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

709. Докажите, что значение выражения не зависит от переменной х:

а) (х − 5)(х + 8) − (х + 4)(х − 1); б) х⁴ + (х² − 1)(х² + 1).

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x - 5)(x + 8) - (x + 4)(x - 1) = (x \cdot x + x \cdot 8 - 5 \cdot x - 5 \cdot 8) - (x \cdot x - x \cdot 1 + 4 \cdot x - 4 \cdot 1)$

Выполним умножение и приведем подобные слагаемые в каждой группе слагаемых:

$(x^2 + 8x - 5x - 40) - (x^2 - x + 4x - 4) = (x^2 + 3x - 40) - (x^2 + 3x - 4)$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные:

$x^2 + 3x - 40 - x^2 - 3x + 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-40 + 4) = 0 + 0 - 36 = -36$

Полученное значение равно -36 и не содержит переменную $x$, следовательно, оно не зависит от нее, что и требовалось доказать.

Ответ: -36.

б) Упростим данное выражение. Произведение $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = x^2$ и $b = 1$.

$x^4 - (x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - ((x^2)^2 - 1^2)$

Выполним возведение в степень:

$x^4 - (x^4 - 1)$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$x^4 - x^4 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^4 - x^4) + 1 = 0 + 1 = 1$

Полученное значение равно 1 и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.

710. Докажите, что выражение (у − 6)(у + 8) − 2(у − 25) при любом значении у принимает положительное значение.

Чтобы доказать, что выражение $(y - 6)(y + 8) - 2(y - 25)$ при любом значении y принимает положительное значение, необходимо его упростить.

Сначала раскроем скобки. Произведение $(y - 6)(y + 8)$ раскрывается по правилу умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(y - 6)(y + 8) = y \cdot y + y \cdot 8 - 6 \cdot y - 6 \cdot 8 = y^2 + 8y - 6y - 48$.
Приведя подобные слагаемые в полученном выражении, получаем:
$y^2 + 2y - 48$.

Далее раскроем вторую часть выражения, используя распределительный закон:
$-2(y - 25) = -2 \cdot y - 2 \cdot (-25) = -2y + 50$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$(y^2 + 2y - 48) + (-2y + 50) = y^2 + 2y - 48 - 2y + 50$.

Приведем подобные слагаемые:
$y^2 + (2y - 2y) + (-48 + 50) = y^2 + 0 + 2 = y^2 + 2$.

Итак, исходное выражение тождественно равно выражению $y^2 + 2$.

Проанализируем полученное выражение $y^2 + 2$. Квадрат любого действительного числа $y$ всегда является неотрицательным числом, то есть $y^2 \ge 0$.
Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $y^2$, равно 0 (это происходит при $y = 0$).
Следовательно, наименьшее значение всего выражения $y^2 + 2$ достигается при $y=0$ и равно $0 + 2 = 2$.
Таким образом, для любого значения $y$ выполняется неравенство $y^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку 2 — это положительное число, то и любое значение выражения $y^2 + 2$ также будет положительным.
Это доказывает, что исходное выражение при любом значении $y$ принимает положительное значение.

Ответ: Выражение $(y - 6)(y + 8) - 2(y - 25)$ после упрощения равно $y^2 + 2$. Так как $y^2 \ge 0$ для любого $y$, то $y^2 + 2 \ge 2$, что означает, что выражение всегда принимает положительное значение.

711. Докажите, что при всех целых n значение выражения:
а) n(n − 1) − (n + 3)(n + 2) делится на 6;
б) n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) делится на 7.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n - 1) - (n + 3)(n + 2)$ делится на 6 при всех целых $n$, необходимо упростить данное выражение.
Раскроем скобки в каждой части выражения:
$n(n - 1) = n^2 - n$
$(n + 3)(n + 2) = n \cdot n + n \cdot 2 + 3 \cdot n + 3 \cdot 2 = n^2 + 5n + 6$
Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:
$(n^2 - n) - (n^2 + 5n + 6)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$n^2 - n - n^2 - 5n - 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (-n - 5n) - 6 = -6n - 6$
Вынесем общий множитель -6 за скобки:
$-6(n + 1)$
Поскольку $n$ является целым числом, то и сумма $(n + 1)$ также будет целым числом. Произведение числа -6 на любое целое число всегда делится на 6. Таким образом, мы доказали, что выражение делится на 6 при любом целом $n$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n + 2) - (n - 7)(n - 5)$ делится на 7 при всех целых $n$, необходимо упростить данное выражение.
Раскроем скобки в каждой части выражения:
$n(n + 2) = n^2 + 2n$
$(n - 7)(n - 5) = n \cdot n - n \cdot 5 - 7 \cdot n + 7 \cdot 5 = n^2 - 12n + 35$
Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:
$(n^2 + 2n) - (n^2 - 12n + 35)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (2n + 12n) - 35 = 14n - 35$
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7(2n - 5)$
Поскольку $n$ является целым числом, то и выражение $(2n - 5)$ также будет целым числом. Произведение числа 7 на любое целое число всегда делится на 7. Таким образом, мы доказали, что выражение делится на 7 при любом целом $n$.
Ответ: Что и требовалось доказать.