Страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

670. Разложите на множители и сделайте проверку:

а) mх + mу; б) kx − px; в) −ab + ас; г) −mа − nа.

а) В выражении $mx + my$ оба члена содержат общий множитель $m$. Вынесем его за скобки. При вынесении общего множителя за скобки, каждый член исходного выражения делится на этот множитель: $mx : m = x$ и $my : m = y$.
$mx + my = m(x + y)$
Проверка: Для проверки раскроем скобки, умножив общий множитель $m$ на каждый член в скобках.
$m(x + y) = m \cdot x + m \cdot y = mx + my$
Полученное выражение совпадает с исходным, значит разложение выполнено верно.
Ответ: $m(x + y)$

б) В выражении $kx - px$ общим множителем является $x$. Вынесем $x$ за скобки.
$kx - px = x(k - p)$
Проверка: Раскроем скобки, умножив $x$ на каждый член внутри них.
$x(k - p) = x \cdot k - x \cdot p = kx - px$
Результат проверки совпадает с первоначальным выражением, следовательно, разложение верное.
Ответ: $x(k - p)$

в) В выражении $-ab + ac$ общий множитель — это $a$. Вынесем $a$ за скобки. Для удобства можно поменять слагаемые местами: $ac - ab$.
$-ab + ac = a(-b + c) = a(c - b)$
Проверка: Умножим $a$ на каждый член в скобках.
$a(c - b) = a \cdot c - a \cdot b = ac - ab$
Полученное выражение $ac - ab$ эквивалентно исходному $-ab + ac$. Разложение выполнено правильно.
Ответ: $a(c - b)$

г) В выражении $-ma - na$ общими множителями являются $-1$ и $a$. Удобнее всего вынести за скобки $-a$.
$-ma - na = -a(m + n)$
Проверка: Раскроем скобки, умножая $-a$ на каждый член суммы в скобках.
$-a(m + n) = (-a) \cdot m + (-a) \cdot n = -am - an$
Так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($-am = -ma$ и $-an = -na$), результат $-ma - na$ совпадает с исходным выражением. Разложение верно.
Ответ: $-a(m + n)$

671. Вынесите за скобки общий множитель:

а) В выражении $5x + 5y$ оба слагаемых, $5x$ и $5y$, имеют общий числовой множитель 5. Вынесем его за скобки. Для этого необходимо каждое слагаемое разделить на этот общий множитель: $5x \div 5 = x$ и $5y \div 5 = y$. Результаты деления записываются в скобках, а общий множитель ставится перед ними.
$5x + 5y = 5(x + y)$.
Ответ: $5(x + y)$

б) В выражении $4a - 4b$ оба члена, $4a$ и $-4b$, имеют общий числовой множитель 4. Вынесем 4 за скобки. Разделим каждый член выражения на 4: $4a \div 4 = a$ и $-4b \div 4 = -b$.
$4a - 4b = 4(a - b)$.
Ответ: $4(a - b)$

в) В выражении $3c + 15d$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 3 и 15. НОД(3, 15) = 3. Это и есть общий множитель. Выносим 3 за скобки. Делим $3c$ на 3, получаем $c$. Делим $15d$ на 3, получаем $5d$.
$3c + 15d = 3(c + 5d)$.
Ответ: $3(c + 5d)$

г) В выражении $-6m - 9n$ найдем НОД для модулей коэффициентов 6 и 9. НОД(6, 9) = 3. Так как оба члена выражения отрицательны, удобно вынести за скобки отрицательный множитель, то есть -3. Разделим каждый член на -3: $-6m \div (-3) = 2m$ и $-9n \div (-3) = 3n$.
$-6m - 9n = -3(2m + 3n)$.
Ответ: $-3(2m + 3n)$

д) В выражении $ax + ay$ оба слагаемых содержат общую переменную $a$. Это и есть общий множитель. Вынесем $a$ за скобки. Разделим $ax$ на $a$, получим $x$. Разделим $ay$ на $a$, получим $y$.
$ax + ay = a(x + y)$.
Ответ: $a(x + y)$

е) В выражении $bc - bd$ оба члена содержат общую переменную $b$. Вынесем $b$ за скобки. Разделим $bc$ на $b$, получим $c$. Разделим $-bd$ на $b$, получим $-d$.
$bc - bd = b(c - d)$.
Ответ: $b(c - d)$

ж) В выражении $ab + a$ общий множитель - это переменная $a$. Чтобы вынести ее за скобки, нужно помнить, что слагаемое $a$ можно представить в виде произведения $a \cdot 1$. Разделим $ab$ на $a$, получим $b$. Разделим $a$ на $a$, получим 1.
$ab + a = a(b + 1)$.
Ответ: $a(b + 1)$

з) В выражении $cy - c$ общим множителем является переменная $c$. Член $-c$ можно представить как произведение $c \cdot (-1)$. Выносим $c$ за скобки. Делим $cy$ на $c$, получаем $y$. Делим $-c$ на $c$, получаем -1.
$cy - c = c(y - 1)$.
Ответ: $c(y - 1)$

и) В выражении $-ma - a$ оба члена содержат общий множитель $a$. Также оба члена отрицательны, поэтому удобно вынести за скобки $-a$. Член $-a$ можно представить как $-a \cdot 1$. Делим $-ma$ на $-a$, получаем $m$. Делим $-a$ на $-a$, получаем 1.
$-ma - a = -a(m + 1)$.
Ответ: $-a(m + 1)$

672. Представьте в виде произведения:

а) Чтобы представить выражение $7a + 7y$ в виде произведения, необходимо найти общий множитель у слагаемых $7a$ и $7y$. Общим множителем является число 7. Вынесем его за скобки:

$7a + 7y = 7 \cdot a + 7 \cdot y = 7(a + y)$

Ответ: $7(a + y)$

б) В выражении $-8b + 8c$ слагаемые имеют общий числовой множитель 8. Вынесем 8 за скобки. Для более удобной записи поменяем слагаемые в скобках местами.

$-8b + 8c = 8 \cdot (-b) + 8 \cdot c = 8(-b + c) = 8(c - b)$

Ответ: $8(c - b)$

в) В выражении $12x + 48y$ найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов 12 и 48. Так как $48$ делится на $12$ ($48 = 12 \cdot 4$), то НОД(12, 48) = 12. Вынесем 12 за скобки:

$12x + 48y = 12 \cdot x + 12 \cdot 4y = 12(x + 4y)$

Ответ: $12(x + 4y)$

г) В выражении $-9m - 27n$ оба слагаемых отрицательные. Найдем НОД модулей коэффициентов 9 и 27. Так как $27 = 9 \cdot 3$, то НОД(9, 27) = 9. Вынесем за скобки общий множитель -9, чтобы в скобках остались положительные слагаемые.

$-9m - 27n = -9 \cdot m - 9 \cdot 3n = -9(m + 3n)$

Ответ: $-9(m + 3n)$

д) В выражении $12a + 12$ общим множителем является число 12. Второе слагаемое $12$ можно представить как произведение $12 \cdot 1$. Вынесем 12 за скобки:

$12a + 12 = 12 \cdot a + 12 \cdot 1 = 12(a + 1)$

Ответ: $12(a + 1)$

е) В выражении $-10 - 10c$ оба слагаемых содержат множитель -10. Первое слагаемое $-10$ можно представить как произведение $-10 \cdot 1$. Вынесем -10 за скобки:

$-10 - 10c = -10 \cdot 1 - 10 \cdot c = -10(1 + c)$

Ответ: $-10(1 + c)$

673. Разложите на множители:

а) Чтобы разложить на множители выражение $7ax + 7bx$, необходимо найти общий множитель для обоих слагаемых. Общим множителем здесь является $7x$. Вынесем его за скобки, разделив каждый член выражения на $7x$:
$7ax + 7bx = 7x \cdot a + 7x \cdot b = 7x(a + b)$.
Ответ: $7x(a + b)$.

б) В выражении $3by - 6b$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 3 и 6, который равен 3, и общую переменную часть, которая равна $b$. Таким образом, общий множитель — это $3b$. Выносим его за скобки:
$3by - 6b = 3b \cdot y - 3b \cdot 2 = 3b(y - 2)$.
Ответ: $3b(y - 2)$.

в) Для выражения $-5mn + 5n$ общим множителем является $5n$. Вынесем $5n$ за скобки:
$-5mn + 5n = 5n \cdot (-m) + 5n \cdot 1 = 5n(-m + 1)$.
Для более стандартного вида поменяем слагаемые в скобках местами:
$5n(1 - m)$.
Ответ: $5n(1 - m)$.

г) В выражении $3a + 9ab$ НОД коэффициентов 3 и 9 равен 3, а общая переменная — $a$. Общий множитель — $3a$. Выносим его за скобки:
$3a + 9ab = 3a \cdot 1 + 3a \cdot 3b = 3a(1 + 3b)$.
Ответ: $3a(1 + 3b)$.

д) В выражении $5y^2 - 15y$ общим множителем для чисел 5 и 15 является 5, а для переменных $y^2$ и $y$ — это $y$ в наименьшей степени, то есть $y$. Общий множитель — $5y$.
$5y^2 - 15y = 5y \cdot y - 5y \cdot 3 = 5y(y - 3)$.
Ответ: $5y(y - 3)$.

е) Для выражения $3x + 6x^2$ общий множитель для коэффициентов 3 и 6 — это 3, а для переменных $x$ и $x^2$ — это $x$. Общий множитель — $3x$.
$3x + 6x^2 = 3x \cdot 1 + 3x \cdot 2x = 3x(1 + 2x)$.
Ответ: $3x(1 + 2x)$.

ж) В выражении $a^2 - ab$ общим множителем является переменная $a$ в первой степени.
$a^2 - ab = a \cdot a - a \cdot b = a(a - b)$.
Ответ: $a(a - b)$.

з) Для выражения $8mn - 4m^2$ НОД коэффициентов 8 и 4 равен 4, а общая переменная — $m$. Общий множитель — $4m$.
$8mn - 4m^2 = 4m \cdot 2n - 4m \cdot m = 4m(2n - m)$.
Ответ: $4m(2n - m)$.

и) В выражении $-6ab + 9b^2$ НОД коэффициентов -6 и 9 равен 3, а общая переменная — $b$. Общий множитель — $3b$.
$-6ab + 9b^2 = 3b \cdot (-2a) + 3b \cdot 3b = 3b(-2a + 3b)$.
Поменяв слагаемые в скобках местами, получим:
$3b(3b - 2a)$.
Ответ: $3b(3b - 2a)$.

к) В выражении $x^2y - xy^2$ общими множителями являются переменные $x$ и $y$, каждая в наименьшей (первой) степени. Общий множитель — $xy$.
$x^2y - xy^2 = xy \cdot x - xy \cdot y = xy(x - y)$.
Ответ: $xy(x - y)$.

л) В выражении $ab - a^2b$ общими множителями являются переменные $a$ и $b$. Наименьшая степень для $a$ — первая, для $b$ — первая. Общий множитель — $ab$.
$ab - a^2b = ab \cdot 1 - ab \cdot a = ab(1 - a)$.
Ответ: $ab(1 - a)$.

м) В выражении $-p^2q^2 - pq$ оба слагаемых отрицательные. Общий множитель для переменных — $pq$. Удобнее вынести за скобки $-pq$.
$-p^2q^2 - pq = -pq \cdot pq - pq \cdot 1 = -pq(pq + 1)$.
Ответ: $-pq(pq + 1)$.