Страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

636. Упростите выражение:
а) 14у + 2у(6 − у);
б) 3у² − 2у(5 + 2у);
в) 4х(х − 1) − 2(2х² − 1);
г) 5а(а² − 3а) − 3а(а² − 5а);
д) 7b(4с − b) + 4с(с − 7b);
е) −2у(х³ − 2у) − (х³у + 4у²);
ж) 3m²(m + 5n) − 2n(8m² − n);
з) 6m²n³ − n²(6m²n + n − 1).

а) $14y + 2y(6 - y)$

Сначала раскроем скобки, умножив $2y$ на каждый член в скобках. Это называется распределительным свойством умножения.

$14y + 2y \cdot 6 + 2y \cdot (-y) = 14y + 12y - 2y^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Подобными здесь являются $14y$ и $12y$.

$(14 + 12)y - 2y^2 = 26y - 2y^2$

Ответ: $26y - 2y^2$

б) $3y^2 - 2y(5 + 2y)$

Раскроем скобки, умножив $-2y$ на каждый член в скобках.

$3y^2 - 2y \cdot 5 - 2y \cdot 2y = 3y^2 - 10y - 4y^2$

Приведем подобные слагаемые. Подобными здесь являются $3y^2$ и $-4y^2$.

$(3 - 4)y^2 - 10y = -y^2 - 10y$

Ответ: $-y^2 - 10y$

в) $4x(x - 1) - 2(2x^2 - 1)$

Раскроем обе скобки, применяя распределительное свойство.

$(4x \cdot x - 4x \cdot 1) - (2 \cdot 2x^2 - 2 \cdot 1) = 4x^2 - 4x - 4x^2 + 2$

Приведем подобные слагаемые. Подобными являются $4x^2$ и $-4x^2$.

$(4x^2 - 4x^2) - 4x + 2 = 0 - 4x + 2 = -4x + 2$

Ответ: $-4x + 2$

г) $5a(a^2 - 3a) - 3a(a^2 - 5a)$

Раскроем обе скобки.

$(5a \cdot a^2 - 5a \cdot 3a) - (3a \cdot a^2 - 3a \cdot 5a) = (5a^3 - 15a^2) - (3a^3 - 15a^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные.

$5a^3 - 15a^2 - 3a^3 + 15a^2$

Приведем подобные слагаемые: $5a^3$ с $-3a^3$ и $-15a^2$ с $15a^2$.

$(5a^3 - 3a^3) + (-15a^2 + 15a^2) = 2a^3 + 0 = 2a^3$

Ответ: $2a^3$

д) $7b(4c - b) + 4c(c - 7b)$

Раскроем обе скобки.

$(7b \cdot 4c - 7b \cdot b) + (4c \cdot c - 4c \cdot 7b) = 28bc - 7b^2 + 4c^2 - 28bc$

Приведем подобные слагаемые. Подобными здесь являются $28bc$ и $-28bc$.

$(28bc - 28bc) - 7b^2 + 4c^2 = 0 - 7b^2 + 4c^2 = 4c^2 - 7b^2$

Ответ: $4c^2 - 7b^2$

е) $-2y(x^3 - 2y) - (x^3y + 4y^2)$

Раскроем первую скобку, умножив $-2y$ на ее содержимое, и вторую, изменив знаки на противоположные.

$(-2y \cdot x^3 - 2y \cdot (-2y)) - x^3y - 4y^2 = -2x^3y + 4y^2 - x^3y - 4y^2$

Приведем подобные слагаемые: $-2x^3y$ с $-x^3y$ и $4y^2$ с $-4y^2$.

$(-2x^3y - x^3y) + (4y^2 - 4y^2) = -3x^3y + 0 = -3x^3y$

Ответ: $-3x^3y$

ж) $3m^2(m + 5n) - 2n(8m^2 - n)$

Раскроем обе скобки, применяя распределительное свойство.

$(3m^2 \cdot m + 3m^2 \cdot 5n) - (2n \cdot 8m^2 - 2n \cdot n) = (3m^3 + 15m^2n) - (16m^2n - 2n^2)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки.

$3m^3 + 15m^2n - 16m^2n + 2n^2$

Приведем подобные слагаемые. Подобными здесь являются $15m^2n$ и $-16m^2n$.

$3m^3 + (15 - 16)m^2n + 2n^2 = 3m^3 - m^2n + 2n^2$

Ответ: $3m^3 - m^2n + 2n^2$

з) $6m^2n^3 - n^2(6m^2n + n - 1)$

Раскроем скобки, умножив $-n^2$ на каждый член в скобках.

$6m^2n^3 - n^2 \cdot 6m^2n - n^2 \cdot n - n^2 \cdot (-1) = 6m^2n^3 - 6m^2n^{2+1} - n^{2+1} + n^2$

$6m^2n^3 - 6m^2n^3 - n^3 + n^2$

Приведем подобные слагаемые. Подобными здесь являются $6m^2n^3$ и $-6m^2n^3$.

$(6m^2n^3 - 6m^2n^3) - n^3 + n^2 = 0 - n^3 + n^2 = -n^3 + n^2$

Ответ: $n^2 - n^3$

637. Предоставьте в виде многочлена:
а) 6x(x − 3) − x(2 − x);
б) −a²(3a − 5) + 4a(a² − a);
в) ax(2x − 3a) − x(ax + 5a²);
г) −4m²(n² − m²) + 3n2(m − n²).

а) $6x(x - 3) - x(2 - x)$

Чтобы представить выражение в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Для этого умножим одночлены, стоящие перед скобками, на каждый член в скобках.

1. Раскроем первые скобки: $6x \cdot (x - 3) = 6x \cdot x + 6x \cdot (-3) = 6x^2 - 18x$.

2. Раскроем вторые скобки: $-x \cdot (2 - x) = -x \cdot 2 - x \cdot (-x) = -2x + x^2$.

3. Сложим полученные выражения: $6x^2 - 18x - 2x + x^2$.

4. Приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени): $(6x^2 + x^2) + (-18x - 2x) = 7x^2 - 20x$.

Ответ: $7x^2 - 20x$

б) $-a^2(3a - 5) + 4a(a^2 - a)$

Действуем аналогично предыдущему пункту: раскрываем скобки и приводим подобные.

1. $-a^2 \cdot (3a - 5) = -a^2 \cdot 3a - a^2 \cdot (-5) = -3a^3 + 5a^2$.

2. $4a \cdot (a^2 - a) = 4a \cdot a^2 + 4a \cdot (-a) = 4a^3 - 4a^2$.

3. Складываем результаты: $-3a^3 + 5a^2 + 4a^3 - 4a^2$.

4. Группируем и складываем подобные слагаемые: $(-3a^3 + 4a^3) + (5a^2 - 4a^2) = a^3 + a^2$.

Ответ: $a^3 + a^2$

в) $ax(2x - 3a) - x(ax + 5a^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение.

1. $ax \cdot (2x - 3a) = ax \cdot 2x - ax \cdot 3a = 2ax^2 - 3a^2x$.

2. $-x \cdot (ax + 5a^2) = -x \cdot ax - x \cdot 5a^2 = -ax^2 - 5a^2x$.

3. Запишем выражение целиком: $2ax^2 - 3a^2x - ax^2 - 5a^2x$.

4. Приведем подобные члены: $(2ax^2 - ax^2) + (-3a^2x - 5a^2x) = ax^2 - 8a^2x$.

Ответ: $ax^2 - 8a^2x$

г) $-4m^2(n^2 - m^2) + 3n^2(m^2 - n^2)$

Выполним умножение и приведение подобных слагаемых.

1. $-4m^2 \cdot (n^2 - m^2) = -4m^2 \cdot n^2 - 4m^2 \cdot (-m^2) = -4m^2n^2 + 4m^4$.

2. $3n^2 \cdot (m^2 - n^2) = 3n^2 \cdot m^2 + 3n^2 \cdot (-n^2) = 3m^2n^2 - 3n^4$.

3. Сложим полученные многочлены: $-4m^2n^2 + 4m^4 + 3m^2n^2 - 3n^4$.

4. Сгруппируем и упростим, расположив члены в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $m$): $4m^4 + (-4m^2n^2 + 3m^2n^2) - 3n^4 = 4m^4 - m^2n^2 - 3n^4$.

Ответ: $4m^4 - m^2n^2 - 3n^4$

638. Найдите значение выражения:
а) −2х(х² − х + 3) + х(2х² + х − 5) при х = 3; −3;
б) х(х − у) − у(у² − х) при х = 4 и у = 2.

а) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

$-2x(x^2 - x + 3) + x(2x^2 + x - 5) = (-2x \cdot x^2 - 2x \cdot (-x) - 2x \cdot 3) + (x \cdot 2x^2 + x \cdot x + x \cdot (-5))$

$-2x^3 + 2x^2 - 6x + 2x^3 + x^2 - 5x$

Сгруппируем подобные члены:

$(-2x^3 + 2x^3) + (2x^2 + x^2) + (-6x - 5x) = 0 + 3x^2 - 11x = 3x^2 - 11x$

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $x$.

1. При $x = 3$:

$3 \cdot (3)^2 - 11 \cdot 3 = 3 \cdot 9 - 33 = 27 - 33 = -6$

2. При $x = -3$:

$3 \cdot (-3)^2 - 11 \cdot (-3) = 3 \cdot 9 + 33 = 27 + 33 = 60$

Ответ: при $x=3$ значение выражения равно -6; при $x=-3$ значение выражения равно 60.

б) Сначала упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

$x(x - y) - y(y^2 - x) = x \cdot x + x \cdot (-y) - y \cdot y^2 - y \cdot (-x)$

$x^2 - xy - y^3 + xy$

Сгруппируем подобные члены:

$x^2 - y^3 + (-xy + xy) = x^2 - y^3$

Теперь подставим значения $x = 4$ и $y = 2$ в упрощенное выражение.

$4^2 - 2^3 = 16 - 8 = 8$

Ответ: 8.

639. Вычислите значение выражения:
а) 5х(2х − 6) − 2,5х(4х − 2) при х = −8; 10;
б) 5а(а − 4b) − 4b(b − 5а) при а = −0,6 и b = −0,5.

а) Вычислим значение выражения $5x(2x - 6) - 2,5x(4x - 2)$ при $x = -8$ и $x = 10$.

Для начала упростим исходное выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5x(2x - 6) - 2,5x(4x - 2) = (5x \cdot 2x - 5x \cdot 6) - (2,5x \cdot 4x - 2,5x \cdot 2)$

$= 10x^2 - 30x - (10x^2 - 5x) = 10x^2 - 30x - 10x^2 + 5x$

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

$(10x^2 - 10x^2) + (-30x + 5x) = 0 - 25x = -25x$

Теперь, когда выражение упрощено, мы можем подставить в него заданные значения $x$.

1. При $x = -8$:

$-25x = -25 \cdot (-8) = 200$

2. При $x = 10$:

$-25x = -25 \cdot 10 = -250$

Ответ: 200; -250.

б) Вычислим значение выражения $5a(a - 4b) - 4b(b - 5a)$ при $a = -0,6$ и $b = -0,5$.

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$5a(a - 4b) - 4b(b - 5a) = (5a \cdot a - 5a \cdot 4b) - (4b \cdot b - 4b \cdot 5a)$

$= 5a^2 - 20ab - (4b^2 - 20ab) = 5a^2 - 20ab - 4b^2 + 20ab$

Приведем подобные слагаемые:

$5a^2 - 4b^2 + (-20ab + 20ab) = 5a^2 - 4b^2$

Теперь подставим в упрощенное выражение числовые значения $a = -0,6$ и $b = -0,5$:

$5a^2 - 4b^2 = 5(-0,6)^2 - 4(-0,5)^2$

Выполним вычисления:

$5 \cdot (0,36) - 4 \cdot (0,25) = 1,8 - 1 = 0,8$

Ответ: 0,8.

640. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(3a^2)^2 - a^3(1 - 5a)$ выполним действия по шагам:
1. Возведем в квадрат первый член, используя свойства степеней $(xy)^n=x^ny^n$ и $(x^m)^n=x^{mn}$: $(3a^2)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 = 9a^4$.
2. Раскроем скобки во втором члене, умножив $-a^3$ на каждый член в скобках: $-a^3(1 - 5a) = -a^3 \cdot 1 - a^3 \cdot (-5a) = -a^3 + 5a^4$.
3. Объединим полученные результаты и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью и степенью): $9a^4 - (a^3 - 5a^4) = 9a^4 - a^3 + 5a^4 = (9a^4 + 5a^4) - a^3 = 14a^4 - a^3$.
Ответ: $14a^4 - a^3$.

б) Для упрощения выражения $(-\frac{1}{2}b)^3 - b(1 - 2b - \frac{1}{8}b^2)$ выполним действия по шагам:
1. Возведем в куб первый член: $(-\frac{1}{2}b)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot b^3 = -\frac{1}{8}b^3$.
2. Раскроем скобки, умножив $-b$ на каждый член многочлена: $-b(1 - 2b - \frac{1}{8}b^2) = -b \cdot 1 - b \cdot (-2b) - b \cdot (-\frac{1}{8}b^2) = -b + 2b^2 + \frac{1}{8}b^3$.
3. Объединим результаты и приведем подобные слагаемые. Члены $-\frac{1}{8}b^3$ и $\frac{1}{8}b^3$ взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{8}b^3 - b + 2b^2 + \frac{1}{8}b^3 = (-\frac{1}{8}b^3 + \frac{1}{8}b^3) + 2b^2 - b = 2b^2 - b$.
Ответ: $2b^2 - b$.

в) Для упрощения выражения $x(16x - 2x^3) - (2x^2)^2$ выполним действия по шагам:
1. Раскроем скобки в первом члене, умножив $x$ на двучлен: $x(16x - 2x^3) = x \cdot 16x - x \cdot 2x^3 = 16x^2 - 2x^4$.
2. Возведем в квадрат второй член: $(2x^2)^2 = 2^2 \cdot (x^2)^2 = 4x^4$.
3. Подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые: $(16x^2 - 2x^4) - 4x^4 = 16x^2 - 2x^4 - 4x^4 = 16x^2 - 6x^4$.
Ответ: $16x^2 - 6x^4$.

г) Для упрощения выражения $(0,2c^3)^2 - 0,01c^4(4c^2 - 100)$ выполним действия по шагам:
1. Возведем в квадрат первый член: $(0,2c^3)^2 = 0,2^2 \cdot (c^3)^2 = 0,04c^6$.
2. Раскроем скобки во втором члене, умножив $-0,01c^4$ на многочлен: $-0,01c^4(4c^2 - 100) = -0,01c^4 \cdot 4c^2 - 0,01c^4 \cdot (-100) = -0,04c^6 + c^4$.
3. Объединим результаты и приведем подобные слагаемые. Члены $0,04c^6$ и $-0,04c^6$ взаимно уничтожаются: $0,04c^6 + (-0,04c^6 + c^4) = 0,04c^6 - 0,04c^6 + c^4 = c^4$.
Ответ: $c^4$.

641. С помощью рисунка 82 разъясните геометрический смысл формулы a(b + c) = ab + ac для положительных значений а, b и с.

Геометрический смысл формулы $a(b+c) = ab + ac$ можно объяснить, рассмотрев площадь прямоугольника, изображенного на рисунке.

С одной стороны, на рисунке показан большой прямоугольник. Одна его сторона равна $a$, а другая сторона состоит из двух отрезков длиной $b$ и $c$, поэтому ее общая длина равна $(b+c)$. Площадь этого большого прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Таким образом, его площадь равна $S_1 = a \cdot (b+c)$. Это выражение является левой частью данной формулы.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из двух меньших прямоугольников.

Первый (голубой) прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь равна $S_{голубого} = a \cdot b = ab$.

Второй (серый) прямоугольник имеет стороны $a$ и $c$. Его площадь равна $S_{серого} = a \cdot c = ac$.

Общая площадь большого прямоугольника может быть также найдена как сумма площадей двух меньших прямоугольников, из которых он состоит. Таким образом, его площадь равна $S_2 = S_{голубого} + S_{серого} = ab + ac$. Это выражение является правой частью данной формулы.

Поскольку оба способа вычисления ($S_1$ и $S_2$) относятся к площади одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Отсюда следует равенство: $a(b+c) = ab + ac$.

Ответ: Геометрический смысл формулы $a(b+c) = ab + ac$ заключается в том, что площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $(b+c)$ равна сумме площадей двух составляющих его прямоугольников со сторонами $a$, $b$ и $a$, $c$. Это равенство является геометрической иллюстрацией распределительного закона умножения относительно сложения.

642. Приведите контрпример для утверждения: выражение х(2х − 1) − х²(х − 2) + (х² − х + 3) + 2(х − 1,5) при любом значении х принимает положительное значение.

Для того чтобы найти контрпример, опровергающий данное утверждение, необходимо найти такое значение переменной $x$, при котором значение выражения не будет положительным (то есть будет равно нулю или станет отрицательным).

Сначала упростим данное выражение:

$x(2x - 1) - x^2(x - 2) + (x^3 - x + 3) + 2(x - 1,5)$

Раскроем скобки:

$2x^2 - x - (x^3 - 2x^2) + x^3 - x + 3 + 2x - 3$

$2x^2 - x - x^3 + 2x^2 + x^3 - x + 3 + 2x - 3$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по степеням $x$:

$(-x^3 + x^3) + (2x^2 + 2x^2) + (-x - x + 2x) + (3 - 3)$

$0 + 4x^2 + 0 + 0 = 4x^2$

Итак, исходное выражение тождественно равно $4x^2$.

Утверждение заключается в том, что выражение $4x^2$ всегда принимает положительное значение. Проверим это.

Выражение $x^2$ является неотрицательным при любом значении $x$ (то есть $x^2 \ge 0$). Соответственно, выражение $4x^2$ также всегда неотрицательно ($4x^2 \ge 0$).

Однако, если мы возьмем $x = 0$, то значение выражения будет:

$4 \cdot 0^2 = 4 \cdot 0 = 0$

Число $0$ не является положительным. Следовательно, утверждение о том, что выражение при любом значении $x$ принимает положительное значение, является ложным. Значение $x = 0$ является контрпримером.

Ответ: контрпримером является значение $x = 0$. При $x = 0$ значение выражения равно $0$, что не является положительным числом.

643. Докажите, что значение выражения у(3у² − у + 5) − (2у³ + 3у − 16) − у(у² − у + 2) не зависит от у.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $y$, необходимо это выражение упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную $y$, сократятся и останется только число, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $y(3y^2 - y + 5) - (2y^3 + 3y - 16) - y(y^2 - y + 2)$.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим одночлены на многочлены и учтем знаки перед скобками.

$y(3y^2 - y + 5) = y \cdot 3y^2 - y \cdot y + y \cdot 5 = 3y^3 - y^2 + 5y$

$-(2y^3 + 3y - 16) = -2y^3 - 3y + 16$

$-y(y^2 - y + 2) = -y \cdot y^2 - y \cdot (-y) - y \cdot 2 = -y^3 + y^2 - 2y$

2. Подставим полученные выражения в исходное и запишем все в одну строку:

$3y^3 - y^2 + 5y - 2y^3 - 3y + 16 - y^3 + y^2 - 2y$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой степенью переменной $y$):

$(3y^3 - 2y^3 - y^3) + (-y^2 + y^2) + (5y - 3y - 2y) + 16$

4. Выполним вычисления в каждой группе:

$(3 - 2 - 1)y^3 = 0 \cdot y^3 = 0$

$(-1 + 1)y^2 = 0 \cdot y^2 = 0$

$(5 - 3 - 2)y = 0 \cdot y = 0$

Константа остается равной $16$.

Таким образом, все выражение упрощается до:

$0 + 0 + 0 + 16 = 16$

Поскольку в результате упрощения получилось число $16$, которое не содержит переменную $y$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от $y$. Оно всегда равно $16$.

Ответ: Упрощенное выражение равно 16, что является константой и не зависит от значения $y$.

644. Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) а(b − с) + b(с − а) + с(а − b);
б) а(b + с − bс) − b(с + а − ас) + с(b − а).

а) Чтобы доказать, что выражение $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)$ тождественно равно нулю, необходимо раскрыть скобки и упростить полученное выражение.

1. Раскроем скобки в каждом члене выражения, используя распределительный закон умножения:

$a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = (ab - ac) + (bc - ba) + (ca - cb)$

2. Запишем выражение без скобок. Учтем, что $ba = ab$, $ca = ac$ и $cb = bc$:

$ab - ac + bc - ab + ac - bc$

3. Сгруппируем подобные слагаемые:

$(ab - ab) + (-ac + ac) + (bc - bc)$

4. Выполним действия в каждой группе:

$0 + 0 + 0 = 0$

Так как в результате преобразований выражение обратилось в ноль, тождество доказано.

Ответ: 0.

б) Докажем, что выражение $a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a)$ тождественно равно нулю. Для этого также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в каждом члене выражения:

$a(b + c - bc) = ab + ac - abc$

$-b(c + a - ac) = -(bc + ba - bac) = -bc - ab + abc$

$c(b - a) = cb - ca = bc - ac$

2. Сложим полученные результаты:

$(ab + ac - abc) + (-bc - ab + abc) + (bc - ac)$

3. Запишем выражение без скобок и сгруппируем подобные слагаемые:

$ab + ac - abc - bc - ab + abc + bc - ac = (ab - ab) + (ac - ac) + (-bc + bc) + (-abc + abc)$

4. Выполним действия в каждой группе:

$0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Так как в результате преобразований выражение обратилось в ноль, тождество доказано.

Ответ: 0.

645. Докажите, что выражение 2х(х − 6) − 3(х² − 4х + 1) при любых значениях х принимает отрицательные значения.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает отрицательные значения при любых значениях x, необходимо его упростить.

Исходное выражение: $2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)$.

Сначала раскроем скобки, умножая множитель перед скобками на каждый член внутри них:

$2x \cdot x + 2x \cdot (-6) - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot (-4x) - 3 \cdot 1$

Выполним умножение:

$2x^2 - 12x - 3x^2 + 12x - 3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной x:

$(2x^2 - 3x^2) + (-12x + 12x) - 3$

Выполним действия в каждой группе:

$-x^2 + 0 - 3 = -x^2 - 3$

Мы получили, что исходное выражение тождественно равно $-x^2 - 3$. Теперь проанализируем это упрощенное выражение.

1. Квадрат любого действительного числа x всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

2. Если мы умножим это неотрицательное число на $-1$, результат будет неположительным: $-x^2 \le 0$.

3. Вычитая из неположительного числа ($-x^2$) положительное число 3, мы всегда будем получать отрицательный результат. Это можно показать с помощью неравенства:

$-x^2 - 3 \le 0 - 3$

$-x^2 - 3 \le -3$

Так как $-3$ является отрицательным числом, то и значение выражения $-x^2 - 3$, которое всегда меньше или равно $-3$, также всегда будет отрицательным.

Ответ: После упрощения выражение $2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)$ равно $-x^2 - 3$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого значения x, то $-x^2 \le 0$. Следовательно, выражение $-x^2 - 3$ всегда меньше или равно $-3$, а значит, всегда является отрицательным числом, что и требовалось доказать.

646. Решите уравнение:
а) 5 + 3(x − 1) = 6x + 11;
б) 3x − 5(2 − x) = 54;
в) 8(y − 7) − 3(2y + 9) = 15;
г) 0,6 − 0,5(y − 1) = y + 0,5;
д) 6 + (2 − 4x) + 5 = 3(1 − 3x);
е) 0,5(2y − 1) − (0,5 − 0,2y) + 1 = 0;
ж) 0,15(x − 4) = 9,9 − 0,3(x − 1);
з) 3(3x − 1) + 2 = 5(1 − 2x) − 1.

а) $5x + 3(x - 1) = 6x + 11$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$5x + 3 \cdot x - 3 \cdot 1 = 6x + 11$

$5x + 3x - 3 = 6x + 11$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8x - 3 = 6x + 11$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя знаки при переносе:

$8x - 6x = 11 + 3$

Снова приведем подобные слагаемые:

$2x = 14$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 2:

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Ответ: $7$.

б) $3x - 5(2 - x) = 54$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x - 5 \cdot 2 - 5 \cdot (-x) = 54$

$3x - 10 + 5x = 54$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8x - 10 = 54$

Перенесем числовое слагаемое $-10$ в правую часть с противоположным знаком:

$8x = 54 + 10$

$8x = 64$

Разделим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{64}{8}$

$x = 8$

Ответ: $8$.

в) $8(y - 7) - 3(2y + 9) = 15$

Раскроем скобки в левой части:

$8y - 56 - 6y - 27 = 15$

Приведем подобные слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые в левой части:

$(8y - 6y) + (-56 - 27) = 15$

$2y - 83 = 15$

Перенесем $-83$ в правую часть с противоположным знаком:

$2y = 15 + 83$

$2y = 98$

Разделим обе части на 2:

$y = \frac{98}{2}$

$y = 49$

Ответ: $49$.

г) $0,6 - 0,5(y - 1) = y + 0,5$

Раскроем скобки в левой части:

$0,6 - 0,5y + 0,5 = y + 0,5$

Приведем подобные числовые слагаемые в левой части:

$1,1 - 0,5y = y + 0,5$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$1,1 - 0,5 = y + 0,5y$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0,6 = 1,5y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части на 1,5:

$y = \frac{0,6}{1,5}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10:

$y = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: $0,4$.

д) $6 + (2 - 4x) + 5 = 3(1 - 3x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части перед скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых не меняются:

$6 + 2 - 4x + 5 = 3 - 9x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$13 - 4x = 3 - 9x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$-4x + 9x = 3 - 13$

Приведем подобные слагаемые:

$5x = -10$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{-10}{5}$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

е) $0,5(2y - 1) - (0,5 - 0,2y) + 1 = 0$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$1y - 0,5 - 0,5 + 0,2y + 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые с переменной $y$ и числовые слагаемые:

$(1y + 0,2y) + (-0,5 - 0,5 + 1) = 0$

$1,2y + 0 = 0$

$1,2y = 0$

Разделим обе части на 1,2:

$y = 0$

Ответ: $0$.

ж) $0,15(x - 4) = 9,9 - 0,3(x - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,15x - 0,15 \cdot 4 = 9,9 - 0,3x + 0,3 \cdot 1$

$0,15x - 0,6 = 9,9 - 0,3x + 0,3$

Приведем подобные числовые слагаемые в правой части:

$0,15x - 0,6 = 10,2 - 0,3x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$0,15x + 0,3x = 10,2 + 0,6$

Приведем подобные слагаемые:

$0,45x = 10,8$

Разделим обе части на 0,45:

$x = \frac{10,8}{0,45}$

Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дробей:

$x = \frac{1080}{45}$

$x = 24$

Ответ: $24$.

з) $3(3x - 1) + 2 = 5(1 - 2x) - 1$

Раскроем скобки в обеих частях:

$9x - 3 + 2 = 5 - 10x - 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$9x - 1 = 4 - 10x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$9x + 10x = 4 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$19x = 5$

Разделим обе части на 19:

$x = \frac{5}{19}$

Ответ: $\frac{5}{19}$.