Номер 643, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

643. Докажите, что значение выражения у(3у² − у + 5) − (2у³ + 3у − 16) − у(у² − у + 2) не зависит от у.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $y$, необходимо это выражение упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную $y$, сократятся и останется только число, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение: $y(3y^2 - y + 5) - (2y^3 + 3y - 16) - y(y^2 - y + 2)$.

1. Раскроем скобки. Для этого умножим одночлены на многочлены и учтем знаки перед скобками.

$y(3y^2 - y + 5) = y \cdot 3y^2 - y \cdot y + y \cdot 5 = 3y^3 - y^2 + 5y$

$-(2y^3 + 3y - 16) = -2y^3 - 3y + 16$

$-y(y^2 - y + 2) = -y \cdot y^2 - y \cdot (-y) - y \cdot 2 = -y^3 + y^2 - 2y$

2. Подставим полученные выражения в исходное и запишем все в одну строку:

$3y^3 - y^2 + 5y - 2y^3 - 3y + 16 - y^3 + y^2 - 2y$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой степенью переменной $y$):

$(3y^3 - 2y^3 - y^3) + (-y^2 + y^2) + (5y - 3y - 2y) + 16$

4. Выполним вычисления в каждой группе:

$(3 - 2 - 1)y^3 = 0 \cdot y^3 = 0$

$(-1 + 1)y^2 = 0 \cdot y^2 = 0$

$(5 - 3 - 2)y = 0 \cdot y = 0$

Константа остается равной $16$.

Таким образом, все выражение упрощается до:

$0 + 0 + 0 + 16 = 16$

Поскольку в результате упрощения получилось число $16$, которое не содержит переменную $y$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от $y$. Оно всегда равно $16$.

Ответ: Упрощенное выражение равно 16, что является константой и не зависит от значения $y$.