Номер 641, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 9. Произведение одночлена и многочлена. 27. Умножение одночлена на многочлен - номер 641, страница 139.

Условие.

641. С помощью рисунка 82 разъясните геометрический смысл формулы a(b + c) = ab + ac для положительных значений а, b и с.

Решение 1.

С помощью формулы a(b + c) = ab + ac для a > 0, b > 0, c > 0 вычисляют площадь фигуры, состоящей и двух прямоугольников со сторонами a и b (синий) и a и c (серый).

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Геометрический смысл формулы $a(b+c) = ab + ac$ можно объяснить, рассмотрев площадь прямоугольника, изображенного на рисунке.

С одной стороны, на рисунке показан большой прямоугольник. Одна его сторона равна $a$, а другая сторона состоит из двух отрезков длиной $b$ и $c$, поэтому ее общая длина равна $(b+c)$. Площадь этого большого прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Таким образом, его площадь равна $S_1 = a \cdot (b+c)$. Это выражение является левой частью данной формулы.

С другой стороны, этот большой прямоугольник состоит из двух меньших прямоугольников.

Первый (голубой) прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$. Его площадь равна $S_{голубого} = a \cdot b = ab$.

Второй (серый) прямоугольник имеет стороны $a$ и $c$. Его площадь равна $S_{серого} = a \cdot c = ac$.

Общая площадь большого прямоугольника может быть также найдена как сумма площадей двух меньших прямоугольников, из которых он состоит. Таким образом, его площадь равна $S_2 = S_{голубого} + S_{серого} = ab + ac$. Это выражение является правой частью данной формулы.

Поскольку оба способа вычисления ($S_1$ и $S_2$) относятся к площади одной и той же фигуры, результаты должны быть равны. Отсюда следует равенство: $a(b+c) = ab + ac$.

Ответ: Геометрический смысл формулы $a(b+c) = ab + ac$ заключается в том, что площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $(b+c)$ равна сумме площадей двух составляющих его прямоугольников со сторонами $a$, $b$ и $a$, $c$. Это равенство является геометрической иллюстрацией распределительного закона умножения относительно сложения.