Номер 644, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

644. Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) а(b − с) + b(с − а) + с(а − b);
б) а(b + с − bс) − b(с + а − ас) + с(b − а).

а) Чтобы доказать, что выражение $a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)$ тождественно равно нулю, необходимо раскрыть скобки и упростить полученное выражение.

1. Раскроем скобки в каждом члене выражения, используя распределительный закон умножения:

$a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = (ab - ac) + (bc - ba) + (ca - cb)$

2. Запишем выражение без скобок. Учтем, что $ba = ab$, $ca = ac$ и $cb = bc$:

$ab - ac + bc - ab + ac - bc$

3. Сгруппируем подобные слагаемые:

$(ab - ab) + (-ac + ac) + (bc - bc)$

4. Выполним действия в каждой группе:

$0 + 0 + 0 = 0$

Так как в результате преобразований выражение обратилось в ноль, тождество доказано.

Ответ: 0.

б) Докажем, что выражение $a(b + c - bc) - b(c + a - ac) + c(b - a)$ тождественно равно нулю. Для этого также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в каждом члене выражения:

$a(b + c - bc) = ab + ac - abc$

$-b(c + a - ac) = -(bc + ba - bac) = -bc - ab + abc$

$c(b - a) = cb - ca = bc - ac$

2. Сложим полученные результаты:

$(ab + ac - abc) + (-bc - ab + abc) + (bc - ac)$

3. Запишем выражение без скобок и сгруппируем подобные слагаемые:

$ab + ac - abc - bc - ab + abc + bc - ac = (ab - ab) + (ac - ac) + (-bc + bc) + (-abc + abc)$

4. Выполним действия в каждой группе:

$0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Так как в результате преобразований выражение обратилось в ноль, тождество доказано.

Ответ: 0.