Номер 645, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

645. Докажите, что выражение 2х(х − 6) − 3(х² − 4х + 1) при любых значениях х принимает отрицательные значения.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает отрицательные значения при любых значениях x, необходимо его упростить.

Исходное выражение: $2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)$.

Сначала раскроем скобки, умножая множитель перед скобками на каждый член внутри них:

$2x \cdot x + 2x \cdot (-6) - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot (-4x) - 3 \cdot 1$

Выполним умножение:

$2x^2 - 12x - 3x^2 + 12x - 3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с одинаковой степенью переменной x:

$(2x^2 - 3x^2) + (-12x + 12x) - 3$

Выполним действия в каждой группе:

$-x^2 + 0 - 3 = -x^2 - 3$

Мы получили, что исходное выражение тождественно равно $-x^2 - 3$. Теперь проанализируем это упрощенное выражение.

1. Квадрат любого действительного числа x всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

2. Если мы умножим это неотрицательное число на $-1$, результат будет неположительным: $-x^2 \le 0$.

3. Вычитая из неположительного числа ($-x^2$) положительное число 3, мы всегда будем получать отрицательный результат. Это можно показать с помощью неравенства:

$-x^2 - 3 \le 0 - 3$

$-x^2 - 3 \le -3$

Так как $-3$ является отрицательным числом, то и значение выражения $-x^2 - 3$, которое всегда меньше или равно $-3$, также всегда будет отрицательным.

Ответ: После упрощения выражение $2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)$ равно $-x^2 - 3$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого значения x, то $-x^2 \le 0$. Следовательно, выражение $-x^2 - 3$ всегда меньше или равно $-3$, а значит, всегда является отрицательным числом, что и требовалось доказать.