Страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

609. Найдите многочлен, после подстановки которого вместо М следующее равенство окажется тождеством:
а) М + (5x² − 2ху) = 6x² + 9ху − у²;
б) М − (4аb − 3b²) = a² − 7ab + 8b²;
в) (4с⁴ + 7с² + 6) − М = 0.

а) Чтобы найти многочлен $M$, необходимо из правой части равенства вычесть многочлен $(5x^2 - 2xy)$. Это можно представить как решение уравнения относительно $M$.

$M = (6x^2 + 9xy - y^2) - (5x^2 - 2xy)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$M = 6x^2 + 9xy - y^2 - 5x^2 + 2xy$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$M = (6x^2 - 5x^2) + (9xy + 2xy) - y^2$

$M = x^2 + 11xy - y^2$

Ответ: $x^2 + 11xy - y^2$

б) В данном равенстве $M$ является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности $(a^2 - 7ab + 8b^2)$ прибавить вычитаемое $(4ab - 3b^2)$.

$M = (a^2 - 7ab + 8b^2) + (4ab - 3b^2)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки внутри нее не меняются:

$M = a^2 - 7ab + 8b^2 + 4ab - 3b^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$M = a^2 + (-7ab + 4ab) + (8b^2 - 3b^2)$

$M = a^2 - 3ab + 5b^2$

Ответ: $a^2 - 3ab + 5b^2$

в) В этом равенстве $M$ является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого $(4c^4 - 7c^2 + 6)$ вычесть разность, равную 0. Либо можно перенести $-M$ в правую часть уравнения, изменив знак.

$(4c^4 - 7c^2 + 6) - M = 0$

$M = 4c^4 - 7c^2 + 6 - 0$

$M = 4c^4 - 7c^2 + 6$

Ответ: $4c^4 - 7c^2 + 6$

610. Какой многочлен в сумме с многочленом 5х² − 3х − 9 тождественно равен:

а) 0; б) 18; в) 2х − 3; г) х² − 5х + 6?

Чтобы найти многочлен, который в сумме с данным многочленом $5x^2 - 3x - 9$ дает определенное выражение, нужно из этого выражения вычесть данный многочлен. Обозначим искомый многочлен как $P(x)$.

а)

Сумма должна быть тождественно равна 0. Составим уравнение:

$(5x^2 - 3x - 9) + P(x) = 0$

Чтобы найти $P(x)$, вычтем из 0 многочлен $5x^2 - 3x - 9$:

$P(x) = 0 - (5x^2 - 3x - 9) = -5x^2 + 3x + 9$

Проверка: $(5x^2 - 3x - 9) + (-5x^2 + 3x + 9) = 5x^2 - 5x^2 - 3x + 3x - 9 + 9 = 0$.

Ответ: $-5x^2 + 3x + 9$

б)

Сумма должна быть тождественно равна 18. Составим уравнение:

$(5x^2 - 3x - 9) + P(x) = 18$

Чтобы найти $P(x)$, вычтем из 18 многочлен $5x^2 - 3x - 9$:

$P(x) = 18 - (5x^2 - 3x - 9) = 18 - 5x^2 + 3x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$P(x) = -5x^2 + 3x + (18 + 9) = -5x^2 + 3x + 27$

Проверка: $(5x^2 - 3x - 9) + (-5x^2 + 3x + 27) = 5x^2 - 5x^2 - 3x + 3x - 9 + 27 = 18$.

Ответ: $-5x^2 + 3x + 27$

в)

Сумма должна быть тождественно равна $2x - 3$. Составим уравнение:

$(5x^2 - 3x - 9) + P(x) = 2x - 3$

Чтобы найти $P(x)$, вычтем из $2x - 3$ многочлен $5x^2 - 3x - 9$:

$P(x) = (2x - 3) - (5x^2 - 3x - 9) = 2x - 3 - 5x^2 + 3x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$P(x) = -5x^2 + (2x + 3x) + (-3 + 9) = -5x^2 + 5x + 6$

Проверка: $(5x^2 - 3x - 9) + (-5x^2 + 5x + 6) = 5x^2 - 5x^2 - 3x + 5x - 9 + 6 = 2x - 3$.

Ответ: $-5x^2 + 5x + 6$

г)

Сумма должна быть тождественно равна $x^2 - 5x + 6$. Составим уравнение:

$(5x^2 - 3x - 9) + P(x) = x^2 - 5x + 6$

Чтобы найти $P(x)$, вычтем из $x^2 - 5x + 6$ многочлен $5x^2 - 3x - 9$:

$P(x) = (x^2 - 5x + 6) - (5x^2 - 3x - 9) = x^2 - 5x + 6 - 5x^2 + 3x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$P(x) = (x^2 - 5x^2) + (-5x + 3x) + (6 + 9) = -4x^2 - 2x + 15$

Проверка: $(5x^2 - 3x - 9) + (-4x^2 - 2x + 15) = 5x^2 - 4x^2 - 3x - 2x - 9 + 15 = x^2 - 5x + 6$.

Ответ: $-4x^2 - 2x + 15$

611. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(a^2 - 0,45a + 1,2) + (0,8a^2 - 1,2a) - (1,6a^2 - 2a)$ сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «+» (или его отсутствие), то знаки слагаемых в скобках не меняются. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$(a^2 - 0,45a + 1,2) + (0,8a^2 - 1,2a) - (1,6a^2 - 2a) = a^2 - 0,45a + 1,2 + 0,8a^2 - 1,2a - 1,6a^2 + 2a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(a^2 + 0,8a^2 - 1,6a^2) + (-0,45a - 1,2a + 2a) + 1,2 = (1 + 0,8 - 1,6)a^2 + (-0,45 - 1,2 + 2)a + 1,2 = 0,2a^2 + 0,35a + 1,2$

Ответ: $0,2a^2 + 0,35a + 1,2$

б) Упростим выражение $(y^2 - 1,75y - 3,2) - (0,3y^2 + 4) - (2y - 7,2)$. Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во второй и третьей скобках на противоположные, так как перед ними стоит знак «-»:

$y^2 - 1,75y - 3,2 - 0,3y^2 - 4 - 2y + 7,2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - 0,3y^2) + (-1,75y - 2y) + (-3,2 - 4 + 7,2) = (1 - 0,3)y^2 + (-1,75 - 2)y + (-7,2 + 7,2) = 0,7y^2 - 3,75y$

Ответ: $0,7y^2 - 3,75y$

в) Упростим выражение $6xy - 2x^2 - (3xy + 4x^2 + 1) - (-xy - 2x^2 - 1)$. Раскроем скобки. Перед первой скобкой стоит знак «-», меняем знаки слагаемых внутри нее. Перед второй скобкой также стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых внутри нее тоже меняем на противоположные:

$6xy - 2x^2 - 3xy - 4x^2 - 1 + xy + 2x^2 + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с $xy$, слагаемые с $x^2$ и свободные члены:

$(6xy - 3xy + xy) + (-2x^2 - 4x^2 + 2x^2) + (-1 + 1) = (6 - 3 + 1)xy + (-2 - 4 + 2)x^2 + 0 = 4xy - 4x^2$

Ответ: $4xy - 4x^2$

г) Упростим выражение $-(2ab^2 - ab + b) + 3ab^2 - 4b - (5ab - ab^2)$. Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых в первой и последней скобках, так как перед ними стоит знак «-»:

$-2ab^2 + ab - b + 3ab^2 - 4b - 5ab + ab^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые по буквенным частям $ab^2$, $ab$ и $b$:

$(-2ab^2 + 3ab^2 + ab^2) + (ab - 5ab) + (-b - 4b) = (-2 + 3 + 1)ab^2 + (1 - 5)ab + (-1 - 4)b = 2ab^2 - 4ab - 5b$

Ответ: $2ab^2 - 4ab - 5b$

612. Упростите выражение:
а) 8a²b + (−5a²b + 4b²) + (a²b − 5b² + 2);
б) (xy + x² + y²) − (х² + у² − 2ху) − ху.

а) Для того чтобы упростить выражение $8a^2b + (-5a^2b + 4b^2) + (a^2b - 5b^2 + 2)$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Раскрыть скобки. Поскольку перед обеими скобками стоит знак сложения, знаки слагаемых внутри скобок не меняются.

$8a^2b - 5a^2b + 4b^2 + a^2b - 5b^2 + 2$

2. Сгруппировать подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые с одинаковой буквенной частью.

$(8a^2b - 5a^2b + a^2b) + (4b^2 - 5b^2) + 2$

3. Привести подобные слагаемые, выполнив действия с их коэффициентами.

Для слагаемых с $a^2b$: $8 - 5 + 1 = 4$. Получаем $4a^2b$.
Для слагаемых с $b^2$: $4 - 5 = -1$. Получаем $-b^2$.
Свободный член 2 остается без изменений.

4. Записать итоговое выражение.

$4a^2b - b^2 + 2$

Ответ: $4a^2b - b^2 + 2$

б) Для того чтобы упростить выражение $(xy + x^2 + y^2) - (x^2 + y^2 - 2xy) - xy$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Раскрыть скобки. При раскрытии первой скобки знаки слагаемых не меняются. Перед второй скобкой стоит знак вычитания, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$xy + x^2 + y^2 - x^2 - y^2 + 2xy - xy$

2. Сгруппировать подобные слагаемые.

$(xy + 2xy - xy) + (x^2 - x^2) + (y^2 - y^2)$

3. Привести подобные слагаемые.

Для слагаемых с $xy$: $1 + 2 - 1 = 2$. Получаем $2xy$.
Для слагаемых с $x^2$: $1 - 1 = 0$.
Для слагаемых с $y^2$: $1 - 1 = 0$.

4. Записать итоговое выражение, отбросив слагаемые, равные нулю.

$2xy + 0 + 0 = 2xy$

Ответ: $2xy$

613. Найдите значение выражения

(5,7а²b − 3,1аb + 8b³) − (6,9аЬ − 2,3a²b + 8b³), если: а) а = 2 и b = 5; б) а = −2 и b = 3.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение. Это позволит сделать вычисления проще.

Исходное выражение:

$(5,7a^2b - 3,1ab + 8b^3) - (6,9ab - 2,3a^2b + 8b^3)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$5,7a^2b - 3,1ab + 8b^3 - 6,9ab + 2,3a^2b - 8b^3$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5,7a^2b + 2,3a^2b) + (-3,1ab - 6,9ab) + (8b^3 - 8b^3)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$8a^2b - 10ab + 0 = 8a^2b - 10ab$

Теперь, когда выражение упрощено, можно подставлять в него значения переменных $a$ и $b$.

а) если $a=2$ и $b=5$

Подставим значения в упрощенное выражение $8a^2b - 10ab$:

$8 \cdot (2)^2 \cdot 5 - 10 \cdot 2 \cdot 5 = 8 \cdot 4 \cdot 5 - 100 = 160 - 100 = 60$

Ответ: 60

б) если $a=-2$ и $b=3$

Подставим значения в упрощенное выражение $8a^2b - 10ab$:

$8 \cdot (-2)^2 \cdot 3 - 10 \cdot (-2) \cdot 3 = 8 \cdot 4 \cdot 3 - (-60) = 96 + 60 = 156$

Ответ: 156

614. Вычислите значение выражения 5х² − (3ху − 7x²) + (5ху − 12x²), если:

а) х = −0,25 и у = 4; б) х = −5 и у = 0,1.

Для решения задачи сначала необходимо упростить данное алгебраическое выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $5x^2 - (3xy - 7x^2) + (5xy - 12x^2)$.

Раскрываем скобки. Перед первой скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри меняются на противоположные. Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых не меняются.

$5x^2 - 3xy + 7x^2 + 5xy - 12x^2$

Теперь сгруппируем и сложим подобные члены:

$(5x^2 + 7x^2 - 12x^2) + (-3xy + 5xy)$

Выполняем действия в каждой группе:

$0 \cdot x^2 + 2xy = 2xy$

Упрощенное выражение — $2xy$. Теперь подставим в него заданные значения переменных.

а) Вычислим значение выражения при $x = -0,25$ и $y = 4$.

Подставляем значения в упрощенное выражение $2xy$:

$2 \cdot (-0,25) \cdot 4 = -0,5 \cdot 4 = -2$

Ответ: -2

б) Вычислим значение выражения при $x = -5$ и $y = 0,1$.

Подставляем значения в упрощенное выражение $2xy$:

$2 \cdot (-5) \cdot 0,1 = -10 \cdot 0,1 = -1$

Ответ: -1

615. Докажите, что при любом значении х разность многочленов 0,7х⁴ + 0,2х² − 5 и −0,3х⁴ + 15х² − 8 принимает положительное значение.

Чтобы доказать утверждение, необходимо найти разность данных многочленов и показать, что она всегда положительна.

Первый многочлен: $0,7x^4 + 0,2x^2 - 5$.
Второй многочлен: $-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 - 8$.

Составим их разность. Для удобства вычислений преобразуем обыкновенную дробь $\frac{1}{5}$ в десятичную: $\frac{1}{5} = 0,2$.

$(0,7x^4 + 0,2x^2 - 5) - (-0,3x^4 + 0,2x^2 - 8)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$0,7x^4 + 0,2x^2 - 5 + 0,3x^4 - 0,2x^2 + 8$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(0,7x^4 + 0,3x^4) + (0,2x^2 - 0,2x^2) + (-5 + 8) = 1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^2 + 3 = x^4 + 3$

В результате упрощения мы получили выражение $x^4 + 3$. Теперь проанализируем его значение.

Выражение $x^4$ представляет собой переменную $x$ в четной степени. Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным числом, то есть $x^4 \ge 0$ при любом значении $x$.

Наименьшее значение, которое может принять $x^4$, равно 0 (это достигается при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения $x^4 + 3$ будет равно $0 + 3 = 3$.

Поскольку наименьшее значение разности многочленов равно 3, а $3 > 0$, это означает, что при любом значении $x$ разность будет принимать положительное значение. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность многочленов равна $x^4 + 3$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $x^4 + 3 \ge 3$, следовательно, разность всегда принимает положительное значение.

616. (Для работы в парах.) Учащимся была предложена задача: «Найдите значение выражения

(7а³ − 6а²b + 5аb²) + (5а³ + 7а²b + 3аb²) − (10а³ + а²b + 8аЬ²) при а = −0,25».

Один из учеников сказал, что в задаче не хватает данных. Прав ли он?

1. Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.
2. Выполните преобразования.
3. Сделайте вывод.
4. Пункт.

1) Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.

Ученик, который сказал, что в задаче не хватает данных, оказался бы прав, если бы после всех преобразований и упрощений итоговое выражение содержало переменную $b$. В этом случае, не зная значения $b$, невозможно было бы вычислить точное числовое значение всего выражения. Таким образом, для вычисления значения выражения потребовались бы данные о значении переменной $b$.

Ответ: Ученик был бы прав, если бы значение выражения зависело от переменной $b$, значение которой не дано.

2) Выполните преобразования.

Чтобы проверить, зависит ли значение выражения от переменной $b$, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$(7a^3 - 6a^2b + 5ab^2) + (5a^3 + 7a^2b + 3ab^2) - (10a^3 + a^2b + 8ab^2)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых в ней не меняются. Перед третьей скобкой стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых в ней меняются на противоположные.

$7a^3 - 6a^2b + 5ab^2 + 5a^3 + 7a^2b + 3ab^2 - 10a^3 - a^2b - 8ab^2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(7a^3 + 5a^3 - 10a^3) + (-6a^2b + 7a^2b - a^2b) + (5ab^2 + 3ab^2 - 8ab^2)$

Вычислим коэффициенты при подобных членах:

$(7 + 5 - 10)a^3 + (-6 + 7 - 1)a^2b + (5 + 3 - 8)ab^2 = 2a^3 + 0 \cdot a^2b + 0 \cdot ab^2 = 2a^3$

В результате преобразований мы получили выражение $2a^3$.

Ответ: $2a^3$.

3) Сделайте вывод.

После упрощения исходное выражение приняло вид $2a^3$. Это выражение не содержит переменную $b$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $b$ и для его вычисления достаточно знать только значение $a$. Следовательно, ученик был неправ, утверждая, что данных не хватает.

Теперь найдем значение выражения при $a = -0,25$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $a = -0,25 = -\frac{1}{4}$.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$2a^3 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^3 = 2 \cdot \left(-\frac{1^3}{4^3}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{64}\right) = -\frac{2}{64} = -\frac{1}{32}$

Можно также выполнить вычисления в десятичных дробях:

$2a^3 = 2 \cdot (-0,25)^3 = 2 \cdot (-0,015625) = -0,03125$

Таким образом, ученик был неправ, а значение выражения можно вычислить.

Ответ: Ученик неправ. Значение выражения равно $-\frac{1}{32}$ (или $-0,03125$).

617. Какой двучлен нужно сложить с многочленом х² + у² − 2ху + 1, чтобы в результате получился многочлен:
а) не содержащий переменную х;
б) не содержащий переменную у?

а) не содержащий переменную x;

Исходный многочлен: $P(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 1$.

Чтобы получить многочлен, не содержащий переменную $x$, нужно сложить исходный многочлен с таким двучленом, который при сложении уничтожит все члены, содержащие $x$.

В многочлене $P(x, y)$ члены, содержащие переменную $x$, это $x^2$ и $-2xy$. Чтобы их сумма с соответствующими членами искомого двучлена равнялась нулю, эти члены двучлена должны быть им противоположны. То есть, это должны быть члены $-x^2$ и $-(-2xy) = 2xy$.

Таким образом, искомый двучлен имеет вид: $-x^2 + 2xy$.

Выполним сложение для проверки:
$(x^2 + y^2 - 2xy + 1) + (-x^2 + 2xy) = x^2 + y^2 - 2xy + 1 - x^2 + 2xy$
Приводя подобные члены, получаем:
$(x^2 - x^2) + y^2 + (-2xy + 2xy) + 1 = 0 + y^2 + 0 + 1 = y^2 + 1$.

Полученный многочлен $y^2 + 1$ не содержит переменную $x$.

Ответ: $-x^2 + 2xy$

б) не содержащий переменную y?

Аналогично, чтобы получить многочлен, не содержащий переменную $y$, нужно сложить исходный многочлен с таким двучленом, который при сложении уничтожит все члены, содержащие $y$.

В многочлене $P(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 1$ члены, содержащие переменную $y$, это $y^2$ и $-2xy$. Искомый двучлен должен содержать противоположные им члены: $-y^2$ и $-(-2xy) = 2xy$.

Таким образом, искомый двучлен имеет вид: $-y^2 + 2xy$.

Выполним сложение для проверки:
$(x^2 + y^2 - 2xy + 1) + (-y^2 + 2xy) = x^2 + y^2 - 2xy + 1 - y^2 + 2xy$
Приводя подобные члены, получаем:
$x^2 + (y^2 - y^2) + (-2xy + 2xy) + 1 = x^2 + 0 + 0 + 1 = x^2 + 1$.

Полученный многочлен $x^2 + 1$ не содержит переменную $y$.

Ответ: $-y^2 + 2xy$