Страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

597. (Задача исследование.) Докажите, что всякая разность вида abbb − a делится на 37.

1) Проверьте верность этого утверждения для разности:

а) 2555 − 2; б) 7111 − 7; в) 8999 − 8; г) 9666 − 9.

2) Проведите доказательство высказанного утверждения.

1) Проверим верность утверждения на конкретных примерах.

а) Для разности $2555 - 2$:

Вычислим значение: $2555 - 2 = 2553$.

Проверим делимость результата на 37: $2553 \div 37 = 69$.

Так как деление выполняется без остатка, утверждение для данного случая верно.

Ответ: Разность $2555 - 2$ делится на 37.

б) Для разности $7111 - 7$:

Вычислим значение: $7111 - 7 = 7104$.

Проверим делимость результата на 37: $7104 \div 37 = 192$.

Так как деление выполняется без остатка, утверждение для данного случая верно.

Ответ: Разность $7111 - 7$ делится на 37.

в) Для разности $8999 - 8$:

Вычислим значение: $8999 - 8 = 8991$.

Проверим делимость результата на 37: $8991 \div 37 = 243$.

Так как деление выполняется без остатка, утверждение для данного случая верно.

Ответ: Разность $8999 - 8$ делится на 37.

г) Для разности $9666 - 9$:

Вычислим значение: $9666 - 9 = 9657$.

Проверим делимость результата на 37: $9657 \div 37 = 261$.

Так как деление выполняется без остатка, утверждение для данного случая верно.

Ответ: Разность $9666 - 9$ делится на 37.

2) Проведем доказательство высказанного утверждения в общем виде.

Запись $\overline{abbb}$ обозначает четырехзначное число, где a – цифра в разряде тысяч, а b – цифра в разрядах сотен, десятков и единиц. Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{abbb} = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + b \cdot 10 + b \cdot 1 = 1000a + 111b$.

Теперь рассмотрим разность $\overline{abbb} - a$:

$\overline{abbb} - a = (1000a + 111b) - a = 999a + 111b$.

Чтобы доказать, что это выражение делится на 37, покажем, что оно может быть представлено как произведение числа 37 и некоторого целого числа. Для этого разложим коэффициенты 999 и 111 на множители.

Известно, что $111 = 3 \cdot 37$. Отсюда следует, что 111 делится на 37.

Тогда $999 = 9 \cdot 111 = 9 \cdot (3 \cdot 37) = 27 \cdot 37$. Отсюда следует, что 999 также делится на 37.

Подставим полученные разложения в наше выражение:

$999a + 111b = (27 \cdot 37) \cdot a + (3 \cdot 37) \cdot b$.

Вынесем общий множитель 37 за скобки, используя распределительный закон:

$37 \cdot (27a + 3b)$.

Поскольку a и b – это цифры (целые числа), то выражение в скобках $(27a + 3b)$ также является целым числом. Таким образом, всякая разность вида $\overline{abbb} - a$ является произведением числа 37 и целого числа, что по определению означает, что она делится на 37 без остатка. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

598. Решите уравнение:

а) 0,3у = 70; б) 58х = −1; в) 19a = −37.

а) $0,3y = 70$

В данном уравнении $y$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, необходимо произведение (70) разделить на известный множитель (0,3).

$y = 70 : 0,3$

Чтобы упростить деление, можно умножить и делимое, и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе:

$y = 700 : 3$

Теперь выполним деление и представим результат в виде смешанного числа:

$y = \frac{700}{3} = 233\frac{1}{3}$

Ответ: $233\frac{1}{3}$.

б) $\frac{5}{8}x = -1$

Здесь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение (-1) разделить на известный множитель ($\frac{5}{8}$).

$x = -1 : \frac{5}{8}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$x = -1 \cdot \frac{8}{5}$

$x = -\frac{8}{5}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x = -1\frac{3}{5}$

Ответ: $-1\frac{3}{5}$.

в) $\frac{1}{9}a = -\frac{3}{7}$

В этом уравнении $a$ — неизвестный множитель. Для его нахождения разделим произведение ($-\frac{3}{7}$) на известный множитель ($\frac{1}{9}$).

$a = -\frac{3}{7} : \frac{1}{9}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$a = -\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{1}$

$a = -\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 1} = -\frac{27}{7}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$a = -3\frac{6}{7}$

Ответ: $-3\frac{6}{7}$.

599. Вычислите:

$\mathrm{а}) \frac{5^3 · {25}^2}{5^8};$ $\mathrm{б}) \frac{2^5 · 8}{4^4};$ $\mathrm{в}) \frac{4^5 · 3^8}{6^9}.$

а) $\frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8}$

Для решения этого примера приведем все числа к основанию 5. Число 25 можно представить как $5^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{5^3 \cdot (5^2)^2}{5^8}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{5^3 \cdot 5^4}{5^8}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$

Получаем дробь:

$\frac{5^7}{5^8}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

$5^{7-8} = 5^{-1}$

Степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) $\frac{2^5 \cdot 8}{4^4}$

Приведем все числа к основанию 2.

$8 = 2^3$

$4 = 2^2$, следовательно, $4^4 = (2^2)^4$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^8}$

В числителе используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$

Получаем дробь:

$\frac{2^8}{2^8}$

Любое число, деленное само на себя, равно 1. Или, используя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{8-8} = 2^0 = 1$

Ответ: $1$

в) $\frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9}$

Разложим основания степеней на простые множители. Основаниями будут 2 и 3.

$4 = 2^2$, значит $4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$.

$6 = 2 \cdot 3$, значит $6^9 = (2 \cdot 3)^9$.

Используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$6^9 = (2 \cdot 3)^9 = 2^9 \cdot 3^9$

Подставим все в исходное выражение:

$\frac{2^{10} \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{10}}{2^9} \cdot \frac{3^8}{3^9}$

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{10}}{2^9} = 2^{10-9} = 2^1 = 2$

$\frac{3^8}{3^9} = 3^{8-9} = 3^{-1}$

Используем правило отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^{-1} = \frac{1}{3}$

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

600. При каком значении аргумента функция у = 0,01х принимает значение, равное:

а) 240; б) −100?

а) Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y = 0,01x$ принимает значение, равное 240, необходимо подставить это значение в уравнение функции вместо $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$.
$240 = 0,01x$
Для того чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 0,01.
$x = \frac{240}{0,01}$
Разделить на 0,01 — это то же самое, что умножить на 100.
$x = 240 \cdot 100$
$x = 24000$
Следовательно, при значении аргумента $x = 24000$ функция принимает значение 240.
Ответ: 24000

б) Аналогично найдем значение аргумента $x$, при котором функция $y = 0,01x$ принимает значение, равное -100. Подставим $y = -100$ в уравнение функции.
$-100 = 0,01x$
Разделим обе части уравнения на 0,01, чтобы найти $x$.
$x = \frac{-100}{0,01}$
$x = -100 \cdot 100$
$x = -10000$
Следовательно, при значении аргумента $x = -10000$ функция принимает значение -100.
Ответ: -10000