Номер 599, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. § 8. Сумма и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 599, страница 132.

599. Вычислите:

$\mathrm{а}) \frac{5^3 · {25}^2}{5^8};$ $\mathrm{б}) \frac{2^5 · 8}{4^4};$ $\mathrm{в}) \frac{4^5 · 3^8}{6^9}.$

а) $\frac{5^3 \cdot 25^2}{5^8}$

Для решения этого примера приведем все числа к основанию 5. Число 25 можно представить как $5^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{5^3 \cdot (5^2)^2}{5^8}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{5^3 \cdot 5^4}{5^8}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$

Получаем дробь:

$\frac{5^7}{5^8}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

$5^{7-8} = 5^{-1}$

Степень с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-1} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) $\frac{2^5 \cdot 8}{4^4}$

Приведем все числа к основанию 2.

$8 = 2^3$

$4 = 2^2$, следовательно, $4^4 = (2^2)^4$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^2)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^8}$

В числителе используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$

Получаем дробь:

$\frac{2^8}{2^8}$

Любое число, деленное само на себя, равно 1. Или, используя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{8-8} = 2^0 = 1$

Ответ: $1$

в) $\frac{4^5 \cdot 3^8}{6^9}$

Разложим основания степеней на простые множители. Основаниями будут 2 и 3.

$4 = 2^2$, значит $4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$.

$6 = 2 \cdot 3$, значит $6^9 = (2 \cdot 3)^9$.

Используем свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$6^9 = (2 \cdot 3)^9 = 2^9 \cdot 3^9$

Подставим все в исходное выражение:

$\frac{2^{10} \cdot 3^8}{2^9 \cdot 3^9}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{10}}{2^9} \cdot \frac{3^8}{3^9}$

Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{10}}{2^9} = 2^{10-9} = 2^1 = 2$

$\frac{3^8}{3^9} = 3^{8-9} = 3^{-1}$

Используем правило отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^{-1} = \frac{1}{3}$

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$