Номер 597, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. § 8. Сумма и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 597, страница 132.

597. (Задача исследование.) Докажите, что всякая разность вида abbb − a делится на 37.

1) Проверьте верность этого утверждения для разности:

а) 2555 − 2; б) 7111 − 7; в) 8999 − 8; г) 9666 − 9.

2) Проведите доказательство высказанного утверждения.

1) Проверим верность утверждения на конкретных примерах.

а) Для разности $2555 - 2$:

Вычислим значение: $2555 - 2 = 2553$.

Проверим делимость результата на 37: $2553 \div 37 = 69$.

Так как деление выполняется без остатка, утверждение для данного случая верно.

Ответ: Разность $2555 - 2$ делится на 37.

б) Для разности $7111 - 7$:

Вычислим значение: $7111 - 7 = 7104$.

Проверим делимость результата на 37: $7104 \div 37 = 192$.

Так как деление выполняется без остатка, утверждение для данного случая верно.

Ответ: Разность $7111 - 7$ делится на 37.

в) Для разности $8999 - 8$:

Вычислим значение: $8999 - 8 = 8991$.

Проверим делимость результата на 37: $8991 \div 37 = 243$.

Так как деление выполняется без остатка, утверждение для данного случая верно.

Ответ: Разность $8999 - 8$ делится на 37.

г) Для разности $9666 - 9$:

Вычислим значение: $9666 - 9 = 9657$.

Проверим делимость результата на 37: $9657 \div 37 = 261$.

Так как деление выполняется без остатка, утверждение для данного случая верно.

Ответ: Разность $9666 - 9$ делится на 37.

2) Проведем доказательство высказанного утверждения в общем виде.

Запись $\overline{abbb}$ обозначает четырехзначное число, где a – цифра в разряде тысяч, а b – цифра в разрядах сотен, десятков и единиц. Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$\overline{abbb} = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + b \cdot 10 + b \cdot 1 = 1000a + 111b$.

Теперь рассмотрим разность $\overline{abbb} - a$:

$\overline{abbb} - a = (1000a + 111b) - a = 999a + 111b$.

Чтобы доказать, что это выражение делится на 37, покажем, что оно может быть представлено как произведение числа 37 и некоторого целого числа. Для этого разложим коэффициенты 999 и 111 на множители.

Известно, что $111 = 3 \cdot 37$. Отсюда следует, что 111 делится на 37.

Тогда $999 = 9 \cdot 111 = 9 \cdot (3 \cdot 37) = 27 \cdot 37$. Отсюда следует, что 999 также делится на 37.

Подставим полученные разложения в наше выражение:

$999a + 111b = (27 \cdot 37) \cdot a + (3 \cdot 37) \cdot b$.

Вынесем общий множитель 37 за скобки, используя распределительный закон:

$37 \cdot (27a + 3b)$.

Поскольку a и b – это цифры (целые числа), то выражение в скобках $(27a + 3b)$ также является целым числом. Таким образом, всякая разность вида $\overline{abbb} - a$ является произведением числа 37 и целого числа, что по определению означает, что она делится на 37 без остатка. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.