Номер 591, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

591. Докажите, что многочлен х² + y² + 1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что многочлен $x^2 + y^2 + 1$ при любых значениях $x$ и $y$ принимает положительные значения, рассмотрим свойства его слагаемых.
1. Слагаемое $x^2$ является квадратом действительного числа $x$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство: $x^2 \ge 0$.
2. Аналогично, слагаемое $y^2$ является квадратом действительного числа $y$. Поэтому для любого значения $y$ также справедливо неравенство: $y^2 \ge 0$.
3. Слагаемое $1$ является положительной константой.
Теперь сложим эти слагаемые. Сумма двух неотрицательных чисел $x^2$ и $y^2$ также является неотрицательным числом:$x^2 + y^2 \ge 0 + 0$, то есть $x^2 + y^2 \ge 0$.
Если к этому неотрицательному выражению $x^2 + y^2$ прибавить положительное число $1$, результат будет строго положительным. Мы можем найти наименьшее значение всего многочлена, сложив наименьшие значения его частей:$x^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1$
$x^2 + y^2 + 1 \ge 1$
Наименьшее значение, которое может принимать данный многочлен, равно $1$ (оно достигается при $x=0$ и $y=0$). Поскольку $1 > 0$, это означает, что значение многочлена $x^2 + y^2 + 1$ всегда будет больше нуля, то есть положительным, при любых действительных значениях $x$ и $y$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Так как $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, то их сумма $x^2+y^2 \ge 0$. Следовательно, $x^2+y^2+1 \ge 0+1=1$. Поскольку $1 > 0$, многочлен всегда принимает положительные значения.