Номер 587, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Многочлен и его стандартный вид. § 8. Сумма и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 587, страница 131.

587. Запишите в стандартном виде многочлен:

а) 2а²х³ − ах³ − а⁴ − а²х³ + ах³ + 2а⁴;

б) 5х · 2у² − 5х · 3ху − х²у + 6ху².

а) Чтобы записать многочлен в стандартном виде, необходимо сначала найти и сгруппировать подобные члены (одночлены), а затем сложить их коэффициенты.

Исходный многочлен: $2a^2x^3 - ax^3 - a^4 - a^2x^3 + ax^3 + 2a^4$.

Сгруппируем подобные члены:

1. Члены с переменной частью $a^2x^3$: $2a^2x^3$ и $-a^2x^3$.

2. Члены с переменной частью $ax^3$: $-ax^3$ и $+ax^3$.

3. Члены с переменной частью $a^4$: $-a^4$ и $+2a^4$.

Теперь выполним приведение подобных членов (сложение):

$(2a^2x^3 - a^2x^3) + (-ax^3 + ax^3) + (-a^4 + 2a^4) = (2-1)a^2x^3 + (-1+1)ax^3 + (-1+2)a^4 = 1 \cdot a^2x^3 + 0 \cdot ax^3 + 1 \cdot a^4 = a^2x^3 + a^4$.

Члены многочлена в стандартном виде принято располагать в порядке убывания их степеней. Степень члена $a^2x^3$ равна $2+3=5$. Степень члена $a^4$ равна 4. Поэтому многочлен в стандартном виде записывается как $a^2x^3 + a^4$.

Ответ: $a^2x^3 + a^4$.

б) Сначала приведем каждый член многочлена к стандартному виду, то есть перемножим числовые коэффициенты и переменные.

Исходный многочлен: $5x \cdot 2y^2 - 5x \cdot 3xy - x^2y + 6xy^2$.

Приводим каждый член к стандартному виду:

$5x \cdot 2y^2 = (5 \cdot 2)xy^2 = 10xy^2$

$5x \cdot 3xy = (5 \cdot 3)(x \cdot x)y = 15x^2y$

Таким образом, многочлен принимает вид: $10xy^2 - 15x^2y - x^2y + 6xy^2$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные члены:

1. Члены с переменной частью $xy^2$: $10xy^2$ и $6xy^2$.

2. Члены с переменной частью $x^2y$: $-15x^2y$ и $-x^2y$.

Выполним сложение:

$(10xy^2 + 6xy^2) + (-15x^2y - x^2y) = (10+6)xy^2 + (-15-1)x^2y = 16xy^2 - 16x^2y$.

Для стандартной записи многочлена с несколькими переменными члены обычно упорядочивают лексикографически (в алфавитном порядке переменных). Сравнивая $x^2y$ и $xy^2$, сначала смотрят на степень $x$. Так как $2 > 1$, член с $x^2y$ идет первым. Таким образом, стандартный вид многочлена: $-16x^2y + 16xy^2$.

Ответ: $-16x^2y + 16xy^2$.