Номер 582, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 7 - номер 582, страница 128.

Условие.

582. Решите графически уравнение:

а) х² = 2 − x;
б)х² = 8;

в) x³ = 6;
г) x³ = −х + 4.

Решение 1.

а) х² = 2 − x;
y = x²;

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

y = 2 - x

x	0	2
y	2	0

Ответ: -2 и 1.

б) х² = 8;
y = x²; и y = 8;

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

Ответ: -2,85 и 2,85.

в) x³ = 6;
y = x³ и y = 6;

x	0	1	2	-1	-2
y	0	1	8	-1	-8

Ответ: ≈ 1,8.

г) x³ = −х + 4;
y = x³ и y = −х + 4;

x	0	1	2	-1	-2
y	0	1	8	-1	-8

x	0	4
y	4	0

Ответ: ≈ 1,4.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для графического решения уравнений необходимо представить каждую часть уравнения как отдельную функцию, построить графики этих функций на одной координатной плоскости и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения. Эти абсциссы и будут являться решениями исходного уравнения.

а) $x^2 = 2 - x$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 2 - x$.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = 2 - x$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 2$ (точка $(0, 2)$); если $y = 0$, то $x = 2$ (точка $(2, 0)$).

Построив оба графика в одной системе координат, находим их точки пересечения. Это точки с координатами $(-2, 4)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1$.

б) $x^2 = 8$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 8$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола.

2. График функции $y = 8$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 8)$.

Графики пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси OY. Абсциссы этих точек — это значения $x$, для которых выполняется равенство $x^2 = 8$. Отсюда $x = \pm\sqrt{8}$. Упрощая корень, получаем $x = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = -2\sqrt{2}, x_2 = 2\sqrt{2}$.

в) $x^3 = 6$

Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = 6$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.

2. График функции $y = 6$ — это горизонтальная прямая.

Кубическая парабола является монотонно возрастающей функцией, поэтому она пересекает любую горизонтальную прямую только в одной точке. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения $x^3 = 6$, то есть $x = \sqrt[3]{6}$.

Ответ: $x = \sqrt[3]{6}$.

г) $x^3 = -x + 4$

Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = -x + 4$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола.

2. График функции $y = -x + 4$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

Функция $y = x^3$ возрастает на всей числовой оси, а функция $y = -x + 4$ убывает. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Построив графики, мы видим, что они действительно пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки лежит в интервале между 1 и 2. Поскольку точное значение корня не является целым или простым рациональным числом, графический метод дает приближенный результат. По графику можно оценить, что $x \approx 1,4$.

Ответ: $x \approx 1,4$.