Страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

576. Упростите выражение:

а) Чтобы упростить выражение $(-x^2y^2)^4 \cdot (-xy)^2$, сначала возведем каждый из множителей в степень. При возведении в четную степень (4 и 2) отрицательные знаки становятся положительными. Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(-x^2y^2)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^2)^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 4} = x^8y^8$.
$(-xy)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 1 \cdot x^2y^2 = x^2y^2$.
Теперь перемножим полученные выражения: $x^8y^8 \cdot x^2y^2$. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^8 \cdot x^2 \cdot y^8 \cdot y^2 = x^{8+2}y^{8+2} = x^{10}y^{10}$.
Ответ: $x^{10}y^{10}$

б) Упростим выражение $-(\frac{1}{3}xy^3)^2 \cdot (-3x)^3$.
Возведем в степень каждый множитель.
$-(\frac{1}{3}xy^3)^2 = - ((\frac{1}{3})^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2) = -(\frac{1}{9}x^2y^6) = -\frac{1}{9}x^2y^6$.
$(-3x)^3 = (-3)^3 \cdot x^3 = -27x^3$.
Перемножим полученные результаты: $(-\frac{1}{9}x^2y^6) \cdot (-27x^3)$.
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(\frac{1}{9} \cdot 27) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot y^6 = 3 \cdot x^{2+3} \cdot y^6 = 3x^5y^6$.
Ответ: $3x^5y^6$

в) Упростим выражение $(-2x^3y^2)^3 \cdot (-2y^2)^3$.
Поскольку оба множителя возводятся в одну и ту же степень, мы можем использовать свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$((-2x^3y^2) \cdot (-2y^2))^3$.
Сначала выполним умножение внутри скобок: $(-2) \cdot (-2) \cdot x^3 \cdot y^2 \cdot y^2 = 4x^3y^{2+2} = 4x^3y^4$.
Теперь возведем результат в куб: $(4x^3y^4)^3 = 4^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^4)^3 = 64x^{3 \cdot 3}y^{4 \cdot 3} = 64x^9y^{12}$.
Ответ: $64x^9y^{12}$

г) Упростим выражение $(\frac{1}{3}a^2b)^3 \cdot (9ab^2)^2$.
Возведем каждый множитель в соответствующую степень.
$(\frac{1}{3}a^2b)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{27}a^6b^3$.
$(9ab^2)^2 = 9^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 81a^2b^4$.
Перемножим полученные выражения: $(\frac{1}{27}a^6b^3) \cdot (81a^2b^4)$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные: $(\frac{1}{27} \cdot 81) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^4) = 3a^{6+2}b^{3+4} = 3a^8b^7$.
Ответ: $3a^8b^7$

д) Упростим выражение $(-5a^3b)^2 \cdot (\frac{1}{5}ab^3)^3$.
Возведем каждый множитель в степень.
$(-5a^3b)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 = 25a^6b^2$.
$(\frac{1}{5}ab^3)^3 = (\frac{1}{5})^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 = \frac{1}{125}a^3b^9$.
Перемножим полученные выражения: $(25a^6b^2) \cdot (\frac{1}{125}a^3b^9)$.
Перемножим коэффициенты и переменные: $(25 \cdot \frac{1}{125}) \cdot (a^6 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^9) = \frac{25}{125}a^{6+3}b^{2+9} = \frac{1}{5}a^9b^{11}$.
Ответ: $\frac{1}{5}a^9b^{11}$

е) Упростим выражение $(-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-3\frac{1}{2}a^3b)^2$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-3\frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$.
Выражение принимает вид: $(-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-\frac{7}{2}a^3b)^2$.
Так как оба множителя в одинаковой степени, применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$((-\frac{2}{7}ab^4) \cdot (-\frac{7}{2}a^3b))^2$.
Умножим выражения в скобках: $(-\frac{2}{7} \cdot -\frac{7}{2}) \cdot (a \cdot a^3) \cdot (b^4 \cdot b) = 1 \cdot a^{1+3} \cdot b^{4+1} = a^4b^5$.
Возведем результат в квадрат: $(a^4b^5)^2 = a^{4 \cdot 2}b^{5 \cdot 2} = a^8b^{10}$.
Ответ: $a^8b^{10}$

ж) Упростим выражение $(x^3y)^2 \cdot (-5xy)^3$.
Возведем каждый множитель в степень.
$(x^3y)^2 = (x^3)^2 \cdot y^2 = x^6y^2$.
$(-5xy)^3 = (-5)^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = -125x^3y^3$.
Перемножим полученные выражения: $x^6y^2 \cdot (-125x^3y^3)$.
Сгруппируем и перемножим: $-125 \cdot (x^6 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^3) = -125x^{6+3}y^{2+3} = -125x^9y^5$.
Ответ: $-125x^9y^5$

з) Упростим выражение $(\frac{1}{6}x^2y^2)^2 \cdot (-12x^3y^5)^2$.
Так как оба множителя в одинаковой степени, применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$((\frac{1}{6}x^2y^2) \cdot (-12x^3y^5))^2$.
Умножим выражения в скобках: $(\frac{1}{6} \cdot -12) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^5) = -2x^{2+3}y^{2+5} = -2x^5y^7$.
Возведем результат в квадрат: $(-2x^5y^7)^2 = (-2)^2 \cdot (x^5)^2 \cdot (y^7)^2 = 4x^{5 \cdot 2}y^{7 \cdot 2} = 4x^{10}y^{14}$.
Ответ: $4x^{10}y^{14}$

577. Представьте выражение в виде произведения числа 3 и квадрата некоторого выражения:

a) 3m⁴n²; б) 12x⁶y⁴z²; в) 34m⁸n⁴.

а) Чтобы представить выражение $3m^4n^2$ в виде произведения числа 3 и квадрата некоторого выражения, необходимо выделить множитель 3, а оставшуюся часть, $m^4n^2$, представить в виде квадрата.

Воспользуемся свойством степеней $(a^k)^p = a^{k \cdot p}$ и $(ab)^k = a^k b^k$. Представим каждый множитель в виде квадрата:

$m^4 = (m^2)^2$

$n^2 = (n)^2$

Следовательно, $m^4n^2 = (m^2)^2 \cdot n^2 = (m^2n)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $3 \cdot (m^2n)^2$.

Ответ: $3(m^2n)^2$

б) Для выражения $12x^6y^4z^2$ сначала вынесем множитель 3:

$12x^6y^4z^2 = 3 \cdot 4 \cdot x^6y^4z^2 = 3 \cdot (4x^6y^4z^2)$

Теперь представим выражение в скобках, $4x^6y^4z^2$, в виде полного квадрата. Для этого представим каждый множитель в виде квадрата:

$4 = 2^2$

$x^6 = (x^3)^2$

$y^4 = (y^2)^2$

$z^2 = z^2$

Следовательно, $4x^6y^4z^2 = 2^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^2)^2 \cdot z^2 = (2x^3y^2z)^2$.

В результате получаем $3 \cdot (2x^3y^2z)^2$.

Ответ: $3(2x^3y^2z)^2$

в) Для выражения $\frac{3}{4}m^8n^4$ выделим множитель 3:

$\frac{3}{4}m^8n^4 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot m^8n^4 = 3 \cdot \left(\frac{1}{4}m^8n^4\right)$

Представим выражение в скобках, $\frac{1}{4}m^8n^4$, в виде полного квадрата. Для этого каждый множитель представим в виде квадрата:

$\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$m^8 = (m^4)^2$

$n^4 = (n^2)^2$

Следовательно, $\frac{1}{4}m^8n^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot (m^4)^2 \cdot (n^2)^2 = \left(\frac{1}{2}m^4n^2\right)^2$.

Окончательный вид выражения: $3 \cdot \left(\frac{1}{2}m^4n^2\right)^2$.

Ответ: $3\left(\frac{1}{2}m^4n^2\right)^2$

578. На рисунке 81 построены графики функций у = х, у = х²,у = х³, где х ≥ 0. Пользуясь графиком, сравните:

а)

Для сравнения чисел $0,23$, $0,23^2$ и $0,23^3$ воспользуемся предложенным графиком. Эти числа являются значениями функций $y=x$, $y=x^2$ и $y=x^3$ в точке $x=0,23$.

Поскольку $0 < 0,23 < 1$, мы рассматриваем поведение графиков на интервале $(0, 1)$. На графике видно, что для любого $x$ из этого интервала, график функции $y=x$ (синяя линия) лежит выше графика $y=x^2$ (черная линия), а тот, в свою очередь, выше графика $y=x^3$ (голубая линия). Это означает, что на интервале $(0, 1)$ выполняется двойное неравенство $x^3 < x^2 < x$.

Применив это свойство к $x=0,23$, получаем $0,23^3 < 0,23^2 < 0,23$. Исходя из этого:
- Сравнивая $0,23$ и $0,23^2$: так как значение на прямой $y=x$ больше значения на параболе $y=x^2$, то $0,23 > 0,23^2$.
- Сравнивая $0,23$ и $0,23^3$: так как значение на прямой $y=x$ больше значения на кубической параболе $y=x^3$, то $0,23 > 0,23^3$.
- Сравнивая $0,23^2$ и $0,23^3$: так как значение на параболе $y=x^2$ больше значения на кубической параболе $y=x^3$, то $0,23^2 > 0,23^3$.

Ответ: $0,23 > 0,23^2$; $0,23 > 0,23^3$; $0,23^2 > 0,23^3$.

б)

Для сравнения чисел $1,47$, $1,47^2$ и $1,47^3$ воспользуемся тем же подходом. Эти числа являются значениями функций $y=x$, $y=x^2$ и $y=x^3$ в точке $x=1,47$.

Поскольку $1,47 > 1$, мы рассматриваем поведение графиков при $x > 1$. На графике видно, что для любого $x$ из этого диапазона, график функции $y=x$ (синяя линия) лежит ниже графика $y=x^2$ (черная линия), а тот, в свою очередь, ниже графика $y=x^3$ (голубая линия). Это означает, что при $x > 1$ выполняется двойное неравенство $x < x^2 < x^3$.

Применив это свойство к $x=1,47$, получаем $1,47 < 1,47^2 < 1,47^3$. Исходя из этого:
- Сравнивая $1,47$ и $1,47^2$: так как значение на прямой $y=x$ меньше значения на параболе $y=x^2$, то $1,47 < 1,47^2$.
- Сравнивая $1,47$ и $1,47^3$: так как значение на прямой $y=x$ меньше значения на кубической параболе $y=x^3$, то $1,47 < 1,47^3$.
- Сравнивая $1,47^2$ и $1,47^3$: так как значение на параболе $y=x^2$ меньше значения на кубической параболе $y=x^3$, то $1,47^2 < 1,47^3$.

Ответ: $1,47 < 1,47^2$; $1,47 < 1,47^3$; $1,47^2 < 1,47^3$.

579. а) Известно, что точка Р(−4; b) принадлежит графику функции, заданной формулой у = х². Найдите значение Ь. Принадлежит ли графику этой функции точка Q(4; b)?

б) Известно, что точка А(−4; а) принадлежит графику функции, заданной формулой у = x². Найдите значение а. Принадлежит ли графику этой функции точка В(−4; −а)?

а) Поскольку точка $P(-4; b)$ принадлежит графику функции $y = x^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значение $x = -4$ в формулу, чтобы найти $b$.

$b = (-4)^2$

$b = 16$

Теперь проверим, принадлежит ли точка $Q(4; b)$, то есть $Q(4; 16)$, графику этой же функции. Подставим координаты точки $Q$ в уравнение $y = x^2$.

$16 = 4^2$

$16 = 16$

Равенство верное, следовательно, точка $Q(4; 16)$ принадлежит графику функции. Это также объясняется тем, что функция $y = x^2$ является четной, то есть $f(x) = f(-x)$, поэтому точкам с противоположными абсциссами соответствует одно и то же значение ординаты.

Ответ: $b = 16$; да, точка $Q$ принадлежит графику.

б) Поскольку точка $A(-4; a)$ принадлежит графику функции $y = x^3$, ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значение $x = -4$ в формулу, чтобы найти $a$.

$a = (-4)^3$

$a = -64$

Теперь проверим, принадлежит ли точка $B(-4; -a)$ графику этой функции. Мы нашли, что $a = -64$, значит, $-a = -(-64) = 64$. Координаты точки $B$ равны $(-4; 64)$. Подставим эти координаты в уравнение $y = x^3$.

$y = (-4)^3 = -64$

Для абсциссы $x = -4$ значение функции должно быть равно $-64$. Однако ордината точки $B$ равна $64$.

Так как $64 \neq -64$, точка $B(-4; 64)$ не принадлежит графику функции $y=x^3$.

Ответ: $a = -64$; нет, точка $B$ не принадлежит графику.

580. Точка А(а; b) принадлежит графику функции:

а) у = х²; б) у = х³.

Принадлежат ли этому графику точки B(−a; b), С(а; −b), В(−a; −b)?

а) $y = x^2$

Поскольку точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции, ее координаты удовлетворяют уравнению $y = x^2$. Это означает, что выполняется равенство $b = a^2$. Мы будем использовать это равенство для проверки принадлежности других точек.

Проверка точки $B(-a; b)$:
Подставляем координаты точки $B$ в уравнение функции: $y = (-a)^2$.
Поскольку $(-a)^2 = a^2$, мы получаем уравнение $y = a^2$.
Так как ордината точки $B$ равна $b$, а мы знаем, что $b = a^2$, то равенство $b = (-a)^2$ является верным. Следовательно, точка $B$ принадлежит графику.

Проверка точки $C(a; -b)$:
Подставляем координаты точки $C$ в уравнение функции: $-b = a^2$.
Из условия мы знаем, что $b = a^2$. Заменив $b$ в нашем равенстве, получим $-(a^2) = a^2$, или $-a^2 = a^2$.
Это равенство верно только при $a^2 = 0$, то есть при $a=0$ (и $b=0$). В общем случае, когда $a \ne 0$, равенство неверно. Следовательно, точка $C$ не принадлежит графику (за исключением случая, когда $A$ - начало координат).

Проверка точки $D(-a; -b)$:
Подставляем координаты точки $D$ в уравнение функции: $-b = (-a)^2$.
Так как $(-a)^2 = a^2$, получаем равенство $-b = a^2$.
Это то же самое условие, что и для точки $C$, которое в общем случае неверно. Следовательно, точка $D$ не принадлежит графику.

Ответ: точка $B$ принадлежит графику, точки $C$ и $D$ не принадлежат.

б) $y = x^3$

Поскольку точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции, ее координаты удовлетворяют уравнению $y = x^3$. Это означает, что выполняется равенство $b = a^3$. Мы будем использовать это равенство для проверки других точек.

Проверка точки $B(-a; b)$:
Подставляем координаты точки $B$ в уравнение функции: $b = (-a)^3$.
Поскольку $(-a)^3 = -a^3$, мы получаем уравнение $b = -a^3$.
Из условия мы знаем, что $b = a^3$. Тогда наше равенство принимает вид $a^3 = -a^3$. Это верно только при $a=0$. В общем случае равенство неверно. Следовательно, точка $B$ не принадлежит графику.

Проверка точки $C(a; -b)$:
Подставляем координаты точки $C$ в уравнение функции: $-b = a^3$.
Из условия мы знаем, что $b = a^3$. Заменив $b$, получим $-(a^3) = a^3$, или $-a^3 = a^3$.
Это равенство также верно только при $a=0$. В общем случае оно неверно. Следовательно, точка $C$ не принадлежит графику.

Проверка точки $D(-a; -b)$:
Подставляем координаты точки $D$ в уравнение функции: $-b = (-a)^3$.
Так как $(-a)^3 = -a^3$, получаем равенство $-b = -a^3$.
Умножив обе части на $-1$, получим $b = a^3$. Это в точности совпадает с исходным условием. Следовательно, точка $D$ принадлежит графику.

Ответ: точка $D$ принадлежит графику, точки $B$ и $C$ не принадлежат.

581. Расположите порядке возрастания числа а, а² и а³, если:

а) если $0 < a < 1$

Чтобы сравнить числа $a$, $a^2$ и $a^3$, можно взять любое число из заданного интервала, например, $a = 0.5$. Тогда:

• $a = 0.5$
• $a^2 = (0.5)^2 = 0.25$
• $a^3 = (0.5)^3 = 0.125$

Сравнивая эти значения, получаем $0.125 < 0.25 < 0.5$. Следовательно, $a^3 < a^2 < a$.

В общем виде: при возведении в степень правильной дроби (числа от 0 до 1) результат становится меньше исходного числа. Так как $0 < a < 1$, то умножение неравенства $a < 1$ на положительное число $a$ сохраняет знак: $a \cdot a < 1 \cdot a \implies a^2 < a$. Аналогично, умножив $a^2 < a$ на $a$, получим: $a^2 \cdot a < a \cdot a \implies a^3 < a^2$. Объединяя неравенства, имеем $a^3 < a^2 < a$.

Ответ: $a^3, a^2, a$.

б) если $a > 1$

Возьмем для примера число $a = 2$, которое больше 1. Тогда:

• $a = 2$
• $a^2 = 2^2 = 4$
• $a^3 = 2^3 = 8$

Сравнивая значения, получаем $2 < 4 < 8$. Следовательно, $a < a^2 < a^3$.

В общем виде: при возведении в степень числа, большего 1, результат становится больше исходного числа. Так как $a > 1$, умножение на $a$ (положительное число) сохраняет знак неравенства: $a \cdot a > 1 \cdot a \implies a^2 > a$. Умножив $a^2 > a$ на $a$, получим: $a^2 \cdot a > a \cdot a \implies a^3 > a^2$. Таким образом, $a < a^2 < a^3$.

Ответ: $a, a^2, a^3$.

в) если $-1 < a < 0$

Возьмем для примера число $a = -0.5$ из этого интервала. Тогда:

• $a = -0.5$
• $a^2 = (-0.5)^2 = 0.25$
• $a^3 = (-0.5)^3 = -0.125$

Сравнивая эти числа, видим, что $a^2$ — единственное положительное число, значит, оно самое большое. Сравним отрицательные числа $a$ и $a^3$: $-0.5 < -0.125$, то есть $a < a^3$. Таким образом, порядок возрастания: $a < a^3 < a^2$.

В общем виде: для $a$ из интервала $(-1, 0)$ число $a$ отрицательно, $a^2$ положительно (квадрат отрицательного числа), а $a^3$ отрицательно (нечетная степень отрицательного числа). Следовательно, $a^2$ — наибольшее число. Сравним $a$ и $a^3$. Так как $-1 < a < 0$, то $0 < a^2 < 1$. Умножим неравенство $a^2 < 1$ на отрицательное число $a$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $a \cdot a^2 > a \cdot 1 \implies a^3 > a$. Итоговый порядок: $a < a^3 < a^2$.

Ответ: $a, a^3, a^2$.

г) если $a < -1$

Возьмем для примера число $a = -2$. Тогда:

• $a = -2$
• $a^2 = (-2)^2 = 4$
• $a^3 = (-2)^3 = -8$

Расположив числа в порядке возрастания, получаем: $-8 < -2 < 4$. Следовательно, $a^3 < a < a^2$.

В общем виде: если $a < -1$, то $a$ — отрицательное число. Тогда $a^2$ — положительное, а $a^3$ — отрицательное. Значит, $a^2$ — самое большое число. Сравним $a$ и $a^3$. Так как $a < -1$, то $a^2 > 1$. Умножим неравенство $a^2 > 1$ на отрицательное число $a$ (при этом знак неравенства изменится на противоположный): $a \cdot a^2 < a \cdot 1 \implies a^3 < a$. Получаем итоговый порядок: $a^3 < a < a^2$.

Ответ: $a^3, a, a^2$.

582. Решите графически уравнение:

Для графического решения уравнений необходимо представить каждую часть уравнения как отдельную функцию, построить графики этих функций на одной координатной плоскости и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения. Эти абсциссы и будут являться решениями исходного уравнения.

а) $x^2 = 2 - x$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 2 - x$.

1. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. График функции $y = 2 - x$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 2$ (точка $(0, 2)$); если $y = 0$, то $x = 2$ (точка $(2, 0)$).

Построив оба графика в одной системе координат, находим их точки пересечения. Это точки с координатами $(-2, 4)$ и $(1, 1)$. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1$.

б) $x^2 = 8$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 8$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола.

2. График функции $y = 8$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 8)$.

Графики пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси OY. Абсциссы этих точек — это значения $x$, для которых выполняется равенство $x^2 = 8$. Отсюда $x = \pm\sqrt{8}$. Упрощая корень, получаем $x = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm2\sqrt{2}$.

Ответ: $x_1 = -2\sqrt{2}, x_2 = 2\sqrt{2}$.

в) $x^3 = 6$

Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = 6$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.

2. График функции $y = 6$ — это горизонтальная прямая.

Кубическая парабола является монотонно возрастающей функцией, поэтому она пересекает любую горизонтальную прямую только в одной точке. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения $x^3 = 6$, то есть $x = \sqrt[3]{6}$.

Ответ: $x = \sqrt[3]{6}$.

г) $x^3 = -x + 4$

Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = -x + 4$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола.

2. График функции $y = -x + 4$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

Функция $y = x^3$ возрастает на всей числовой оси, а функция $y = -x + 4$ убывает. Это означает, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Построив графики, мы видим, что они действительно пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки лежит в интервале между 1 и 2. Поскольку точное значение корня не является целым или простым рациональным числом, графический метод дает приближенный результат. По графику можно оценить, что $x \approx 1,4$.

Ответ: $x \approx 1,4$.