Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

583. Назовите каждый член многочлена:

а) −6х⁴ + y³ − 5y + 11; б) 25ab + ab² − a²b + 8a − 7b.

Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов, которые называются членами многочлена. Чтобы назвать каждый член многочлена $-6x^4 + y^3 - 5y + 11$, нужно рассмотреть каждое слагаемое, из которого он состоит, вместе с его знаком.

Представим многочлен в виде явной суммы одночленов: $(-6x^4) + (y^3) + (-5y) + (11)$.

Отсюда видно, что членами данного многочлена являются:

первый член: $-6x^4$,

второй член: $y^3$,

третий член: $-5y$,

четвертый член: $11$.

Ответ: $-6x^4$, $y^3$, $-5y$, $11$.

Аналогично, для многочлена $25ab + ab^2 - a^2b + 8a - 7b$ найдем его члены. Членами многочлена являются одночлены, которые складываются или вычитаются.

Представим этот многочлен в виде суммы: $(25ab) + (ab^2) + (-a^2b) + (8a) + (-7b)$.

Таким образом, членами этого многочлена являются:

первый член: $25ab$,

второй член: $ab^2$,

третий член: $-a^2b$,

четвертый член: $8a$,

пятый член: $-7b$.

Ответ: $25ab$, $ab^2$, $-a^2b$, $8a$, $-7b$.

584. Приведите подобные члены многочлена:

а) В многочлене $10x - 8xy - 3xy$ подобными членами являются те, у которых одинаковая буквенная часть. В данном случае это $-8xy$ и $-3xy$. Чтобы их привести, нужно сложить их коэффициенты, оставив буквенную часть неизменной. Член $10x$ подобных не имеет.
$10x - 8xy - 3xy = 10x + (-8 - 3)xy = 10x - 11xy$.
Ответ: $10x - 11xy$.

б) В многочлене $2ab - 7ab + 7a^2$ подобными членами являются $2ab$ и $-7ab$. Член $7a^2$ не имеет подобных. Приведем подобные члены, сложив их коэффициенты:
$2ab - 7ab + 7a^2 = (2 - 7)ab + 7a^2 = -5ab + 7a^2$.
Для стандартной формы записи многочлена принято располагать его члены по убыванию степеней переменной, поэтому запишем результат как $7a^2 - 5ab$.
Ответ: $7a^2 - 5ab$.

в) В многочлене $3x^4 - 5x + 7x^2 - 8x^4 + 5x$ есть две группы подобных членов. Первая группа — члены со степенью $x^4$: $3x^4$ и $-8x^4$. Вторая группа — члены со степенью $x$: $-5x$ и $5x$. Сгруппируем их и выполним приведение:
$3x^4 - 5x + 7x^2 - 8x^4 + 5x = (3x^4 - 8x^4) + 7x^2 + (-5x + 5x) = (3 - 8)x^4 + 7x^2 + (-5 + 5)x = -5x^4 + 7x^2 + 0 \cdot x = -5x^4 + 7x^2$.
Ответ: $-5x^4 + 7x^2$.

г) В многочлене $2a^3 + a^2 - 17 - 3a^2 + a^3 - a - 80$ сгруппируем подобные члены: члены с $a^3$, члены с $a^2$, члены с $a$ и свободные члены (константы).
$(2a^3 + a^3) + (a^2 - 3a^2) - a + (-17 - 80)$.
Теперь выполним действия в каждой группе, помня, что $a^3$ это $1 \cdot a^3$, $a^2$ это $1 \cdot a^2$ и $-a$ это $-1 \cdot a$:
$(2+1)a^3 + (1-3)a^2 - a - 97 = 3a^3 - 2a^2 - a - 97$.
Ответ: $3a^3 - 2a^2 - a - 97$.