Страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

553. Вычислите:

а) $(217 - 43,07 \cdot 5)^0 + 5 \cdot \frac{1}{3}$
Для решения данного выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), потом возведение в степень, затем умножение за скобками и, наконец, сложение.
1. Выполним умножение в скобках:
$43,07 \cdot 5 = 215,35$
2. Выполним вычитание в скобках:
$217 - 215,35 = 1,65$
3. Теперь возведем результат в нулевую степень. Согласно свойству степени, любое число, не равное нулю, в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$, при $a \neq 0$).
$(1,65)^0 = 1$
4. Выполним второе умножение в выражении:
$5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$
5. Сложим полученные результаты:
$1 + 1\frac{2}{3} = 2\frac{2}{3}$
Ответ: $2\frac{2}{3}$.

б) $17,83^0 \cdot 6,4 + \frac{1}{7} \cdot 2,8$
Решим это выражение по действиям. Сначала выполняются возведение в степень и умножение, а затем сложение.
1. Вычислим первое слагаемое $17,83^0 \cdot 6,4$.
Возводим $17,83$ в нулевую степень. Так как $17,83 \neq 0$, то $17,83^0 = 1$.
Теперь умножим результат на $6,4$:
$1 \cdot 6,4 = 6,4$
2. Вычислим второе слагаемое $\frac{1}{7} \cdot 2,8$.
Для удобства вычисления представим десятичную дробь $2,8$ в виде обыкновенной: $2,8 = \frac{28}{10}$.
Выполним умножение дробей, предварительно сократив их:
$\frac{1}{7} \cdot \frac{28}{10} = \frac{1 \cdot 28}{7 \cdot 10} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 10} = \frac{4}{10} = 0,4$
3. Сложим результаты двух действий:
$6,4 + 0,4 = 6,8$
Ответ: $6,8$.

554. Упростите:

а) (−1)ⁿ · (−1)ⁿ; б) (−1)²ⁿ : (−1)³.

а) Чтобы упростить выражение $(-1)^n \cdot (-1)^n$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$(-1)^n \cdot (-1)^n = (-1)^{n+n} = (-1)^{2n}$.

Показатель степени $2n$ является четным числом при любом целом значении $n$, так как он представляет собой произведение двойки и целого числа. Любое отрицательное число, возведенное в четную степень, дает положительный результат. В частности, $(-1)$ в любой четной степени всегда равно 1.

Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$.

Ответ: $1$.

б) Чтобы упростить выражение $(-1)^{2n} : (-1)^3$, можно пойти двумя путями.

Способ 1: Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это свойство:

$(-1)^{2n} : (-1)^3 = (-1)^{2n-3}$.

Теперь определим четность показателя степени $2n-3$. Поскольку $2n$ — это всегда четное число для любого целого $n$, а 3 — нечетное число, разность четного и нечетного чисел всегда является нечетным числом. Следовательно, показатель $2n-3$ является нечетным.

Возведение $(-1)$ в любую нечетную степень всегда дает в результате $-1$.

Значит, $(-1)^{2n-3} = -1$.

Способ 2: Вычислим значение каждой степени отдельно.

Как мы установили в пункте а), показатель $2n$ всегда является четным числом, поэтому $(-1)^{2n} = 1$.

Показатель 3 является нечетным числом, поэтому $(-1)^3 = -1 \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$.

Теперь выполним деление:

$1 : (-1) = -1$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $-1$.

555. Площадь круга вычисляется по формуле S = πr², где r − радиус круга. Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в 3 раза; в 7 раз?

...увеличить в 3 раза: Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Пусть первоначальный радиус круга равен $r_1$, тогда его площадь $S_1 = \pi r_1^2$. Если радиус увеличить в 3 раза, то новый радиус $r_2$ будет равен $3r_1$. Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi (3r_1)^2 = \pi (9r_1^2) = 9 \cdot (\pi r_1^2)$ Так как $\pi r_1^2 = S_1$, то $S_2 = 9S_1$. Следовательно, площадь круга увеличится в $3^2=9$ раз.
Ответ: площадь круга увеличится в 9 раз.

...в 7 раз: Аналогично, если первоначальный радиус равен $r_1$ и площадь $S_1 = \pi r_1^2$, то при увеличении радиуса в 7 раз новый радиус $r_2$ станет равен $7r_1$. Новая площадь $S_2$ будет равна: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi (7r_1)^2 = \pi (49r_1^2) = 49 \cdot (\pi r_1^2)$ Так как $\pi r_1^2 = S_1$, то $S_2 = 49S_1$. Следовательно, площадь круга увеличится в $7^2=49$ раз.
Ответ: площадь круга увеличится в 49 раз.

556. Объём шара вычисляется по формуле V = 43πr³, где r − радиус шара. Как изменится объём шара, если радиус увеличить в 2 раза; в 4 раза?

Объём шара ($V$) зависит от его радиуса ($r$) согласно формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Это означает, что объём прямо пропорционален кубу радиуса. Если радиус увеличить в $k$ раз, то объём увеличится в $k^3$ раз.

Проверим это для каждого из заданных случаев.

в 2 раза

Пусть начальный объём шара равен $V_1$ при радиусе $r_1$. Тогда $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$. Если радиус увеличить в 2 раза, новый радиус $r_2$ станет равен $2r_1$. Тогда новый объём $V_2$ будет: $V_2 = \frac{4}{3}\pi (r_2)^3 = \frac{4}{3}\pi (2r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (8r_1^3) = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi r_1^3)$. Так как $\frac{4}{3}\pi r_1^3 = V_1$, то $V_2 = 8V_1$. Таким образом, объём шара увеличится в 8 раз.

Ответ: объём шара увеличится в 8 раз.

в 4 раза

Аналогично, пусть начальный объём шара равен $V_1$ при радиусе $r_1$. Если радиус увеличить в 4 раза, новый радиус $r_3$ станет равен $4r_1$. Тогда новый объём $V_3$ будет: $V_3 = \frac{4}{3}\pi (r_3)^3 = \frac{4}{3}\pi (4r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (64r_1^3) = 64 \cdot (\frac{4}{3}\pi r_1^3)$. Так как $\frac{4}{3}\pi r_1^3 = V_1$, то $V_3 = 64V_1$. Таким образом, объём шара увеличится в 64 раза.

Ответ: объём шара увеличится в 64 раза.

557. Верно ли при любом значении х равенство:

a) Ixl² = x²; б) |x|³ = x³?

а) Данное равенство $|x|^2 = x^2$ является верным для любого значения $x$. Для доказательства рассмотрим два случая, основанных на определении модуля числа.
1. Если $x \ge 0$, то по определению $|x| = x$. Тогда левая часть равенства будет выглядеть как $(x)^2$, что равно $x^2$. Таким образом, мы получаем тождество $x^2 = x^2$.
2. Если $x < 0$, то по определению $|x| = -x$. Тогда левая часть равенства будет выглядеть как $(-x)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(-x)^2 = x^2$. Мы снова получаем тождество $x^2 = x^2$.
Так как равенство выполняется в обоих случаях, оно верно для любого значения $x$.

Ответ: да, верно.

б) Данное равенство $|x|^3 = x^3$ является верным не для любого значения $x$. Также рассмотрим два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Тогда левая часть равенства равна $(x)^3$, что равно $x^3$. Для всех неотрицательных $x$ равенство $x^3 = x^3$ выполняется.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда левая часть равенства равна $(-x)^3$. Так как нечетная степень сохраняет знак, $(-x)^3 = -x^3$. Равенство принимает вид $-x^3 = x^3$. Это уравнение верно только если $2x^3 = 0$, то есть при $x = 0$. Но это противоречит нашему условию $x < 0$.
Следовательно, для любого отрицательного числа $x$ равенство неверно. Например, приведем контрпример для $x = -2$:
Левая часть: $|-2|^3 = 2^3 = 8$.
Правая часть: $(-2)^3 = -8$.
Поскольку $8 \ne -8$, равенство не выполняется для всех $x$.

Ответ: нет, неверно.

558. Найдите значение выражения:

а) $4^5 \cdot 2,5^5$
Применим свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, так как в данном выражении у множителей одинаковый показатель степени $n=5$.
$4^5 \cdot 2,5^5 = (4 \cdot 2,5)^5$
Вычислим произведение в скобках: $4 \cdot 2,5 = 10$.
Получаем: $10^5 = 100000$.
Ответ: 100000.

б) $(\frac{1}{3})^{13} \cdot 3^{13}$
Используем свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, так как показатель степени $n=13$ у обоих множителей одинаков.
$(\frac{1}{3})^{13} \cdot 3^{13} = (\frac{1}{3} \cdot 3)^{13}$
Вычислим произведение в скобках: $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$.
Получаем: $1^{13} = 1$.
Ответ: 1.

в) $0,2^9 \cdot 5^7$
Показатели степеней различны. Чтобы воспользоваться свойствами степеней, приведем множители к одному показателю.
Представим степень $0,2^9$ в виде произведения: $0,2^9 = 0,2^{2+7} = 0,2^2 \cdot 0,2^7$.
Теперь исходное выражение можно записать так: $0,2^2 \cdot 0,2^7 \cdot 5^7$.
Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени $7$: $0,2^2 \cdot (0,2 \cdot 5)^7$.
Вычислим значения выражений в скобках и возведение в степень: $0,2^2 = 0,04$ и $0,2 \cdot 5 = 1$.
Подставим вычисленные значения: $0,04 \cdot 1^7 = 0,04 \cdot 1 = 0,04$.
Ответ: 0,04.

г) $0,4^{10} \cdot 2,5^{12}$
Показатели степеней различны. Приведем степени к одному показателю.
Представим степень $2,5^{12}$ в виде произведения: $2,5^{12} = 2,5^{10+2} = 2,5^{10} \cdot 2,5^2$.
Исходное выражение примет вид: $0,4^{10} \cdot 2,5^{10} \cdot 2,5^2$.
Сгруппируем множители с одинаковым показателем $10$: $(0,4 \cdot 2,5)^{10} \cdot 2,5^2$.
Вычислим значения: $0,4 \cdot 2,5 = 1$ и $2,5^2 = 6,25$.
Подставим полученные значения в выражение: $1^{10} \cdot 6,25 = 1 \cdot 6,25 = 6,25$.
Ответ: 6,25.

д) $0,2^6 \cdot 25^3$
Основания и показатели степеней различны. Попробуем привести множители к одному показателю степени.
Заметим, что основание $25$ можно представить как $5^2$.
Тогда $25^3 = (5^2)^3$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $5^{2 \cdot 3} = 5^6$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $0,2^6 \cdot 5^6$.
Показатели степеней стали равны, поэтому применяем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$(0,2 \cdot 5)^6 = 1^6 = 1$.
Ответ: 1.

е) $(\frac{1}{9})^6 \cdot 81^4$
Основания и показатели степеней различны. Приведем степени к одному основанию. В данном случае удобно выбрать основание 9.
Представим дробь $\frac{1}{9}$ как $9^{-1}$ и число $81$ как $9^2$.
Выражение примет вид: $(9^{-1})^6 \cdot (9^2)^4$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(9^{-1})^6 = 9^{-1 \cdot 6} = 9^{-6}$
$(9^2)^4 = 9^{2 \cdot 4} = 9^8$
Получаем произведение степеней с одинаковым основанием: $9^{-6} \cdot 9^8$.
Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$9^{-6+8} = 9^2 = 81$.
Ответ: 81.

559. Сравните значения выражений:

а)

Для того чтобы сравнить $10^7$ и $2^8 \cdot 5^7$, представим число 10 в виде произведения простых множителей: $10 = 2 \cdot 5$.

Тогда первое выражение можно записать так: $10^7 = (2 \cdot 5)^7 = 2^7 \cdot 5^7$.

Теперь сравним два выражения: $2^7 \cdot 5^7$ и $2^8 \cdot 5^7$.

Второе выражение можно переписать как $2^8 \cdot 5^7 = 2 \cdot 2^7 \cdot 5^7$.

Мы сравниваем $2^7 \cdot 5^7$ и $2 \cdot (2^7 \cdot 5^7)$. Поскольку $2 > 1$, второе выражение больше первого.

Следовательно, $10^7 < 2^8 \cdot 5^7$.

Ответ: $10^7 < 2^8 \cdot 5^7$.

б)

Сравним $6^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$.

Представим число 6 в виде произведения простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$.

Тогда первое выражение: $6^{12} = (2 \cdot 3)^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12}$.

Теперь нужно сравнить $2^{12} \cdot 3^{12}$ и $2^{13} \cdot 3^{11}$.

Чтобы упростить сравнение, разделим оба выражения на их общую часть, например, на $2^{12} \cdot 3^{11}$.

Для первого выражения получаем: $\frac{2^{12} \cdot 3^{12}}{2^{12} \cdot 3^{11}} = 3^{12-11} = 3^1 = 3$.

Для второго выражения получаем: $\frac{2^{13} \cdot 3^{11}}{2^{12} \cdot 3^{11}} = 2^{13-12} = 2^1 = 2$.

Поскольку $3 > 2$, первое исходное выражение больше второго.

Ответ: $6^{12} > 2^{13} \cdot 3^{11}$.

в)

Сравним $25^{25}$ и $2^{50} \cdot 3^{50}$.

Преобразуем оба выражения, чтобы привести их к степеням с одинаковым показателем.

Первое выражение: $25^{25} = (5^2)^{25} = 5^{2 \cdot 25} = 5^{50}$.

Второе выражение: $2^{50} \cdot 3^{50} = (2 \cdot 3)^{50} = 6^{50}$.

Теперь сравним $5^{50}$ и $6^{50}$. Так как показатели степеней одинаковы (50), нужно сравнить их основания.

Сравниваем основания: $5 < 6$.

Следовательно, $5^{50} < 6^{50}$, а значит и $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$.

Ответ: $25^{25} < 2^{50} \cdot 3^{50}$.

г)

Сравним $63^{30}$ и $3^{60} \cdot 5^{30}$.

Преобразуем оба выражения, приведя их к общему основанию или показателю, где это возможно.

Разложим основание первого выражения на простые множители: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$.

Тогда первое выражение: $63^{30} = (3^2 \cdot 7)^{30} = (3^2)^{30} \cdot 7^{30} = 3^{60} \cdot 7^{30}$.

Теперь сравним выражения $3^{60} \cdot 7^{30}$ и $3^{60} \cdot 5^{30}$.

Оба выражения имеют общий множитель $3^{60}$. Мы можем сократить его и сравнить оставшиеся части: $7^{30}$ и $5^{30}$.

Поскольку показатели степеней одинаковы (30), сравниваем основания: $7 > 5$.

Следовательно, $7^{30} > 5^{30}$, а значит и $3^{60} \cdot 7^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$.

Ответ: $63^{30} > 3^{60} \cdot 5^{30}$.

560. Представьте выражение в виде 3ⁿ или −3ⁿ:

а)(−3³)²; б) (−3²)³; в) −(3⁴)²; г) −(−3²)³.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степеней:

• При возведении степени в степень, основание остается прежним, а показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При возведении отрицательного числа в степень с четным показателем, результат будет положительным: $(-a)^n = a^n$, если $n$ — четное число.
• При возведении отрицательного числа в степень с нечетным показателем, результат будет отрицательным: $(-a)^n = -a^n$, если $n$ — нечетное число.
• Выражение $-a^n$ означает $-(a^n)$, то есть сначала выполняется возведение в степень, а затем учитывается знак минус.

а) $(-3^3)^2$

В данном выражении основание степени $(-3^3)$ возводится в квадрат (четная степень). Следовательно, знак минус исчезает, так как $(-x)^2 = x^2$:

$(-3^3)^2 = (3^3)^2$

Далее, по свойству возведения степени в степень, показатели перемножаются:

$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$

Ответ: $3^6$

б) $(-3^2)^3$

Здесь основание степени $(-3^2)$ возводится в куб (нечетная степень). Поэтому знак минус сохраняется и выносится за скобки, так как $(-x)^3 = -x^3$:

$(-3^2)^3 = -(3^2)^3$

Применяем свойство возведения степени в степень:

$-(3^2)^3 = -(3^{2 \cdot 3}) = -3^6$

Ответ: $-3^6$

в) $-(3^4)^2$

В этом выражении знак минус стоит перед скобками и не подвергается возведению в степень. Сначала возведем в степень выражение в скобках, перемножив показатели:

$(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$

Теперь добавим знак минус, который был перед скобками:

$-(3^4)^2 = -3^8$

Ответ: $-3^8$

г) $-(-3^2)^3$

Разберем это выражение по частям, начиная изнутри. Сначала рассмотрим выражение в скобках: $(-3^2)^3$.

Основание $(-3^2)$ возводится в нечетную степень 3, поэтому знак минус сохраняется:

$(-3^2)^3 = -(3^2)^3 = -(3^{2 \cdot 3}) = -3^6$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$-(-3^2)^3 = -(-3^6)$

Два знака минус подряд дают плюс:

$-(-3^6) = 3^6$

Ответ: $3^6$

561. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения $(x^3)^2 \cdot (-x^8)^4$ воспользуемся свойствами степеней: свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ и свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
1. Упростим первый множитель: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.
2. Упростим второй множитель: $(-x^8)^4$. Поскольку показатель степени (4) является четным числом, отрицательный знак у основания исчезает. Таким образом, $(-x^8)^4 = (x^8)^4 = x^{8 \cdot 4} = x^{32}$.
3. Перемножим полученные результаты: $x^6 \cdot x^{32} = x^{6+32} = x^{38}$.
Ответ: $x^{38}$.

б) Рассмотрим выражение $(-y^8)^7 \cdot (-y^4)^5$.
1. Упростим первый множитель: $(-y^8)^7$. Так как показатель степени (7) — нечетное число, знак минус сохраняется: $(-y^8)^7 = -(y^8)^7 = -y^{8 \cdot 7} = -y^{56}$.
2. Упростим второй множитель: $(-y^4)^5$. Показатель степени (5) также нечетный, поэтому знак минус сохраняется: $(-y^4)^5 = -(y^4)^5 = -y^{4 \cdot 5} = -y^{20}$.
3. Перемножим полученные выражения: $(-y^{56}) \cdot (-y^{20})$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому $(-y^{56}) \cdot (-y^{20}) = y^{56} \cdot y^{20} = y^{56+20} = y^{76}$.
Ответ: $y^{76}$.

в) Упростим выражение $(x^7)^5 \cdot (-x^2)^6$.
1. Применим свойство возведения степени в степень к первому множителю: $(x^7)^5 = x^{7 \cdot 5} = x^{35}$.
2. Упростим второй множитель: $(-x^2)^6$. Поскольку показатель степени (6) — четное число, знак минус исчезает: $(-x^2)^6 = (x^2)^6 = x^{2 \cdot 6} = x^{12}$.
3. Теперь выполним умножение степеней с одинаковым основанием: $x^{35} \cdot x^{12} = x^{35+12} = x^{47}$.
Ответ: $x^{47}$.

г) Упростим выражение $(-c^9)^4 \cdot (c^5)^2$.
1. Упростим первый множитель: $(-c^9)^4$. Так как показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным: $(-c^9)^4 = (c^9)^4 = c^{9 \cdot 4} = c^{36}$.
2. Упростим второй множитель: $(c^5)^2 = c^{5 \cdot 2} = c^{10}$.
3. Перемножим полученные степени: $c^{36} \cdot c^{10} = c^{36+10} = c^{46}$.
Ответ: $c^{46}$.

562. Замените букву р выражением так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) р⁵ = х²⁰; б) р⁷ = х²¹; в) р³с⁸ = с²⁰; г) у⁷ · (у²)⁴ = р⁵.

а) В данном равенстве $p^5 = x^{20}$ необходимо найти выражение для $p$. Для этого нужно представить правую часть равенства, $x^{20}$, в виде некоторого выражения, возведенного в 5-ю степень. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Поскольку $20 = 4 \cdot 5$, мы можем переписать правую часть следующим образом: $x^{20} = x^{4 \cdot 5} = (x^4)^5$. Теперь исходное тождество имеет вид $p^5 = (x^4)^5$. Из этого равенства следует, что искомое выражение для $p$ равно $x^4$.
Ответ: $p = x^4$.

б) В равенстве $p^7 = x^{21}$ действуем аналогично предыдущему пункту. Представим правую часть $x^{21}$ в виде выражения в 7-й степени. Так как $21 = 3 \cdot 7$, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $x^{21} = x^{3 \cdot 7} = (x^3)^7$. Исходное равенство принимает вид $p^7 = (x^3)^7$. Отсюда следует, что $p$ равно $x^3$.
Ответ: $p = x^3$.

в) Рассмотрим равенство $p^8 c^8 = c^{20}$. Для того чтобы найти $p$, сначала выразим $p^8$. Разделим обе части равенства на $c^8$ (предполагая, что $c \neq 0$): $p^8 = \frac{c^{20}}{c^8}$. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $p^8 = c^{20-8} = c^{12}$. Теперь нам нужно найти выражение $p$, которое при возведении в 8-ю степень равно $c^{12}$. Для этого нужно извлечь корень 8-й степени из $c^{12}$, что эквивалентно возведению в степень $\frac{1}{8}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $p = (c^{12})^{\frac{1}{8}} = c^{12 \cdot \frac{1}{8}} = c^{\frac{12}{8}} = c^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $p = c^{\frac{3}{2}}$.

г) В равенстве $y^7 \cdot (y^2)^4 = p^5$ сначала необходимо упростить левую часть. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для выражения $(y^2)^4$: $(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$. Теперь подставим это в исходное равенство: $y^7 \cdot y^8 = p^5$. Далее, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $y^7 \cdot y^8 = y^{7+8} = y^{15}$. Таким образом, мы получили упрощенное равенство: $y^{15} = p^5$. Чтобы найти $p$, представим $y^{15}$ как выражение в 5-й степени: $y^{15} = y^{3 \cdot 5} = (y^3)^5$. Теперь равенство выглядит так: $(y^3)^5 = p^5$. Отсюда следует, что $p = y^3$.
Ответ: $p = y^3$.

563. Представьте в виде степени:

а) Чтобы представить выражение $4^5 \cdot 2^{21}$ в виде степени, необходимо привести оба множителя к одному основанию. Заметим, что $4 = 2^2$.
Подставим это в исходное выражение: $4^5 \cdot 2^{21} = (2^2)^5 \cdot 2^{21}$.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются (свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$.
Теперь выражение имеет вид: $2^{10} \cdot 2^{21}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $2^{10} \cdot 2^{21} = 2^{10+21} = 2^{31}$.
Ответ: $2^{31}$

б) Чтобы представить выражение $25^{13} \cdot 5^{11}$ в виде степени, приведем множители к общему основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$.
Подставим это в выражение: $25^{13} \cdot 5^{11} = (5^2)^{13} \cdot 5^{11}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $(5^2)^{13} = 5^{2 \cdot 13} = 5^{26}$.
Теперь умножим степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^{26} \cdot 5^{11} = 5^{26+11} = 5^{37}$.
Ответ: $5^{37}$

в) Для выражения $8^5 \cdot 16^{13}$ приведем основания 8 и 16 к общему основанию 2. Известно, что $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $8^5 \cdot 16^{13} = (2^3)^5 \cdot (2^4)^{13}$.
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к обоим множителям: $(2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$
$(2^4)^{13} = 2^{4 \cdot 13} = 2^{52}$
Теперь перемножим полученные степени с одинаковым основанием: $2^{15} \cdot 2^{52} = 2^{15+52} = 2^{67}$.
Ответ: $2^{67}$

г) Чтобы представить выражение $27^{10} : 9^{15}$ в виде степени, приведем делимое и делитель к общему основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Подставим эти значения в выражение: $27^{10} : 9^{15} = (3^3)^{10} : (3^2)^{15}$.
Воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^3)^{10} = 3^{3 \cdot 10} = 3^{30}$
$(3^2)^{15} = 3^{2 \cdot 15} = 3^{30}$
Теперь выражение выглядит так: $3^{30} : 3^{30}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$): $3^{30} : 3^{30} = 3^{30-30} = 3^0$.
Ответ: $3^0$

564. Представьте выражение в виде хⁿ или −хⁿ:

а) Для упрощения выражения $(-x^3)^7$ необходимо учесть два правила работы со степенями:
1. Возведение отрицательного основания в степень. Если показатель степени — нечетное число, то знак минус сохраняется. В данном случае показатель степени равен 7 (нечетное число), поэтому $(-x^3)^7 = -(x^3)^7$.
2. Возведение степени в степень. По правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, показатели степеней перемножаются.
Применяя эти правила, получаем:
$(-x^3)^7 = -(x^3)^7 = -x^{3 \cdot 7} = -x^{21}$.
Ответ: $-x^{21}$.

б) В выражении $(-x^2)^5$ показатель степени 5 является нечетным числом, поэтому знак минус сохраняется.
$(-x^2)^5 = -(x^2)^5$.
Далее, по правилу возведения степени в степень, перемножаем показатели:
$-(x^2)^5 = -x^{2 \cdot 5} = -x^{10}$.
Ответ: $-x^{10}$.

в) Выражение состоит из двух множителей: $(-x)^4$ и $x^8$.
Сначала упростим первый множитель $(-x)^4$. Показатель степени 4 — четное число. При возведении отрицательного числа в четную степень результат становится положительным.
$(-x)^4 = x^4$.
Теперь исходное выражение можно записать как $x^4 \cdot x^8$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^4 \cdot x^8 = x^{4+8} = x^{12}$.
Ответ: $x^{12}$.

г) Упростим каждый множитель в выражении $(-x^5)^7 \cdot (x^2)^3$ по отдельности.
Первый множитель: $(-x^5)^7$. Так как степень 7 нечетная, минус сохраняется. Затем применяем правило возведения степени в степень.
$(-x^5)^7 = -(x^5)^7 = -x^{5 \cdot 7} = -x^{35}$.
Второй множитель: $(x^2)^3$. Применяем правило возведения степени в степень.
$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(-x^{35}) \cdot (x^6)$.
Знак минус выносится за скобки, а показатели степеней с одинаковым основанием $x$ складываются:
$-(x^{35} \cdot x^6) = -x^{35+6} = -x^{41}$.
Ответ: $-x^{41}$.

565. Сколькими способами можно представить в виде степени с показателем, отличным от 1, число:

а) 2¹⁵; б) 2⁶?

а)
Чтобы представить число $2^{15}$ в виде степени с показателем, отличным от 1, необходимо найти все возможные представления вида $(a^m)^n = a^{mn}$. В данном случае мы ищем представление вида $(2^m)^n$. Основанием новой степени будет число $2^m$, а показателем — $n$.
Из равенства $(2^m)^n = 2^{15}$ следует, что $m \cdot n = 15$. По условию задачи, показатель $n$ должен быть отличен от 1, то есть $n \neq 1$.
Таким образом, задача сводится к нахождению количества натуральных делителей числа 15, которые не равны 1.
Сначала найдем все натуральные делители числа 15. Разложим 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.Делителями числа 15 являются числа 1, 3, 5, 15.
Исключаем делитель 1, так как по условию показатель $n$ не может быть равен 1. Остаются делители 3, 5 и 15. Каждому из этих делителей соответствует один способ представления числа $2^{15}$ в виде степени:
1. $(2^5)^3 = 32^3$
2. $(2^3)^5 = 8^5$
3. $(2^1)^{15} = 2^{15}$
Всего существует 3 таких способа.
Ответ: 3

б)
Аналогично пункту а), чтобы представить число $2^{60}$ в виде степени с показателем, отличным от 1, мы ищем представления вида $(2^m)^n$, где $m \cdot n = 60$ и $n \neq 1$.
Количество таких способов равно количеству натуральных делителей числа 60, за исключением делителя 1.
Сначала найдем общее количество делителей числа 60. Для этого разложим 60 на простые множители:$60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
Количество всех натуральных делителей числа, разложение которого на простые множители имеет вид $p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_s^{k_s}$, вычисляется по формуле $\tau = (k_1+1)(k_2+1)\ldots(k_s+1)$.
Для числа 60 количество делителей равно:$\tau(60) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.
Всего у числа 60 имеется 12 натуральных делителей. Поскольку показатель $n$ не может быть равен 1, мы должны исключить один случай (когда $n=1$).
Следовательно, искомое количество способов равно:$12 - 1 = 11$.
Ответ: 11