Номер 558, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

558. Найдите значение выражения:

а) $4^5 \cdot 2,5^5$
Применим свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, так как в данном выражении у множителей одинаковый показатель степени $n=5$.
$4^5 \cdot 2,5^5 = (4 \cdot 2,5)^5$
Вычислим произведение в скобках: $4 \cdot 2,5 = 10$.
Получаем: $10^5 = 100000$.
Ответ: 100000.

б) $(\frac{1}{3})^{13} \cdot 3^{13}$
Используем свойство степени $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, так как показатель степени $n=13$ у обоих множителей одинаков.
$(\frac{1}{3})^{13} \cdot 3^{13} = (\frac{1}{3} \cdot 3)^{13}$
Вычислим произведение в скобках: $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$.
Получаем: $1^{13} = 1$.
Ответ: 1.

в) $0,2^9 \cdot 5^7$
Показатели степеней различны. Чтобы воспользоваться свойствами степеней, приведем множители к одному показателю.
Представим степень $0,2^9$ в виде произведения: $0,2^9 = 0,2^{2+7} = 0,2^2 \cdot 0,2^7$.
Теперь исходное выражение можно записать так: $0,2^2 \cdot 0,2^7 \cdot 5^7$.
Сгруппируем множители с одинаковым показателем степени $7$: $0,2^2 \cdot (0,2 \cdot 5)^7$.
Вычислим значения выражений в скобках и возведение в степень: $0,2^2 = 0,04$ и $0,2 \cdot 5 = 1$.
Подставим вычисленные значения: $0,04 \cdot 1^7 = 0,04 \cdot 1 = 0,04$.
Ответ: 0,04.

г) $0,4^{10} \cdot 2,5^{12}$
Показатели степеней различны. Приведем степени к одному показателю.
Представим степень $2,5^{12}$ в виде произведения: $2,5^{12} = 2,5^{10+2} = 2,5^{10} \cdot 2,5^2$.
Исходное выражение примет вид: $0,4^{10} \cdot 2,5^{10} \cdot 2,5^2$.
Сгруппируем множители с одинаковым показателем $10$: $(0,4 \cdot 2,5)^{10} \cdot 2,5^2$.
Вычислим значения: $0,4 \cdot 2,5 = 1$ и $2,5^2 = 6,25$.
Подставим полученные значения в выражение: $1^{10} \cdot 6,25 = 1 \cdot 6,25 = 6,25$.
Ответ: 6,25.

д) $0,2^6 \cdot 25^3$
Основания и показатели степеней различны. Попробуем привести множители к одному показателю степени.
Заметим, что основание $25$ можно представить как $5^2$.
Тогда $25^3 = (5^2)^3$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем $5^{2 \cdot 3} = 5^6$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $0,2^6 \cdot 5^6$.
Показатели степеней стали равны, поэтому применяем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$(0,2 \cdot 5)^6 = 1^6 = 1$.
Ответ: 1.

е) $(\frac{1}{9})^6 \cdot 81^4$
Основания и показатели степеней различны. Приведем степени к одному основанию. В данном случае удобно выбрать основание 9.
Представим дробь $\frac{1}{9}$ как $9^{-1}$ и число $81$ как $9^2$.
Выражение примет вид: $(9^{-1})^6 \cdot (9^2)^4$.
Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(9^{-1})^6 = 9^{-1 \cdot 6} = 9^{-6}$
$(9^2)^4 = 9^{2 \cdot 4} = 9^8$
Получаем произведение степеней с одинаковым основанием: $9^{-6} \cdot 9^8$.
Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$9^{-6+8} = 9^2 = 81$.
Ответ: 81.