Номер 562, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

562. Замените букву р выражением так, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) р⁵ = х²⁰; б) р⁷ = х²¹; в) р³с⁸ = с²⁰; г) у⁷ · (у²)⁴ = р⁵.

а) В данном равенстве $p^5 = x^{20}$ необходимо найти выражение для $p$. Для этого нужно представить правую часть равенства, $x^{20}$, в виде некоторого выражения, возведенного в 5-ю степень. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Поскольку $20 = 4 \cdot 5$, мы можем переписать правую часть следующим образом: $x^{20} = x^{4 \cdot 5} = (x^4)^5$. Теперь исходное тождество имеет вид $p^5 = (x^4)^5$. Из этого равенства следует, что искомое выражение для $p$ равно $x^4$.
Ответ: $p = x^4$.

б) В равенстве $p^7 = x^{21}$ действуем аналогично предыдущему пункту. Представим правую часть $x^{21}$ в виде выражения в 7-й степени. Так как $21 = 3 \cdot 7$, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $x^{21} = x^{3 \cdot 7} = (x^3)^7$. Исходное равенство принимает вид $p^7 = (x^3)^7$. Отсюда следует, что $p$ равно $x^3$.
Ответ: $p = x^3$.

в) Рассмотрим равенство $p^8 c^8 = c^{20}$. Для того чтобы найти $p$, сначала выразим $p^8$. Разделим обе части равенства на $c^8$ (предполагая, что $c \neq 0$): $p^8 = \frac{c^{20}}{c^8}$. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $p^8 = c^{20-8} = c^{12}$. Теперь нам нужно найти выражение $p$, которое при возведении в 8-ю степень равно $c^{12}$. Для этого нужно извлечь корень 8-й степени из $c^{12}$, что эквивалентно возведению в степень $\frac{1}{8}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $p = (c^{12})^{\frac{1}{8}} = c^{12 \cdot \frac{1}{8}} = c^{\frac{12}{8}} = c^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $p = c^{\frac{3}{2}}$.

г) В равенстве $y^7 \cdot (y^2)^4 = p^5$ сначала необходимо упростить левую часть. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для выражения $(y^2)^4$: $(y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8$. Теперь подставим это в исходное равенство: $y^7 \cdot y^8 = p^5$. Далее, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $y^7 \cdot y^8 = y^{7+8} = y^{15}$. Таким образом, мы получили упрощенное равенство: $y^{15} = p^5$. Чтобы найти $p$, представим $y^{15}$ как выражение в 5-й степени: $y^{15} = y^{3 \cdot 5} = (y^3)^5$. Теперь равенство выглядит так: $(y^3)^5 = p^5$. Отсюда следует, что $p = y^3$.
Ответ: $p = y^3$.