Номер 565, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 565, страница 126.

565. Сколькими способами можно представить в виде степени с показателем, отличным от 1, число:

а) 2¹⁵; б) 2⁶?

а)
Чтобы представить число $2^{15}$ в виде степени с показателем, отличным от 1, необходимо найти все возможные представления вида $(a^m)^n = a^{mn}$. В данном случае мы ищем представление вида $(2^m)^n$. Основанием новой степени будет число $2^m$, а показателем — $n$.
Из равенства $(2^m)^n = 2^{15}$ следует, что $m \cdot n = 15$. По условию задачи, показатель $n$ должен быть отличен от 1, то есть $n \neq 1$.
Таким образом, задача сводится к нахождению количества натуральных делителей числа 15, которые не равны 1.
Сначала найдем все натуральные делители числа 15. Разложим 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.Делителями числа 15 являются числа 1, 3, 5, 15.
Исключаем делитель 1, так как по условию показатель $n$ не может быть равен 1. Остаются делители 3, 5 и 15. Каждому из этих делителей соответствует один способ представления числа $2^{15}$ в виде степени:
1. $(2^5)^3 = 32^3$
2. $(2^3)^5 = 8^5$
3. $(2^1)^{15} = 2^{15}$
Всего существует 3 таких способа.
Ответ: 3

б)
Аналогично пункту а), чтобы представить число $2^{60}$ в виде степени с показателем, отличным от 1, мы ищем представления вида $(2^m)^n$, где $m \cdot n = 60$ и $n \neq 1$.
Количество таких способов равно количеству натуральных делителей числа 60, за исключением делителя 1.
Сначала найдем общее количество делителей числа 60. Для этого разложим 60 на простые множители:$60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.
Количество всех натуральных делителей числа, разложение которого на простые множители имеет вид $p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot \ldots \cdot p_s^{k_s}$, вычисляется по формуле $\tau = (k_1+1)(k_2+1)\ldots(k_s+1)$.
Для числа 60 количество делителей равно:$\tau(60) = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$.
Всего у числа 60 имеется 12 натуральных делителей. Поскольку показатель $n$ не может быть равен 1, мы должны исключить один случай (когда $n=1$).
Следовательно, искомое количество способов равно:$12 - 1 = 11$.
Ответ: 11