Номер 571, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

571. Составьте все возможные одночлены стандартного вида с коэффициентом 5, содержащие переменные х и у, такие, что степень каждого одночлена равна:

а) трём; б) четырём.

а)

По условию, нужно составить все возможные одночлены стандартного вида. Одночлен стандартного вида — это произведение числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных.
Нам даны следующие условия:
1. Коэффициент равен 5.
2. Одночлен содержит переменные $x$ и $y$. Это означает, что одночлен имеет вид $5x^a y^b$, где показатели степеней $a$ и $b$ являются натуральными числами (т.е. $a \ge 1$ и $b \ge 1$).
3. Степень одночлена равна трём. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных. Значит, $a + b = 3$.

Теперь найдём все пары натуральных чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 3:
• Если $a = 1$, то $b = 3 - 1 = 2$. Получаем одночлен $5x^1y^2$, или $5xy^2$.
• Если $a = 2$, то $b = 3 - 2 = 1$. Получаем одночлен $5x^2y^1$, или $5x^2y$.

Других пар натуральных чисел, сумма которых равна 3, не существует. Таким образом, мы нашли все возможные одночлены.

Ответ: $5xy^2$, $5x^2y$.

б)

В этом пункте условия аналогичны, за исключением того, что степень одночлена равна четырём. Мы снова ищем одночлены вида $5x^a y^b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.
Условие на степень даёт уравнение: $a + b = 4$.

Найдём все пары натуральных чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 4:
• Если $a = 1$, то $b = 4 - 1 = 3$. Получаем одночлен $5x^1y^3$, или $5xy^3$.
• Если $a = 2$, то $b = 4 - 2 = 2$. Получаем одночлен $5x^2y^2$.
• Если $a = 3$, то $b = 4 - 3 = 1$. Получаем одночлен $5x^3y^1$, или $5x^3y$.

Других пар натуральных чисел, сумма которых равна 4, не существует. Таким образом, мы нашли все возможные одночлены для этого случая.

Ответ: $5xy^3$, $5x^2y^2$, $5x^3y$.