Номер 573, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 573, страница 127.

573. Представьте данный одночлен в виде произведения каких−нибудь двух одночленов стандартного вида:

а) −8а⁵c³; б) −b⁶y⁹; в) 60х¹⁰y¹⁵.

а) Чтобы представить одночлен $-8a^5c^8$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида, необходимо разложить на два множителя его числовой коэффициент и степени каждой переменной. Так как в задании требуется найти "какие-нибудь" два одночлена, существует множество правильных решений. Рассмотрим один из вариантов.

1. Разложим числовой коэффициент $-8$ на два множителя. Например, $-8 = 2 \cdot (-4)$.

2. Разложим переменную $a$ в степени $5$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, нам нужно найти два числа, сумма которых равна $5$. Например, $5 = 2 + 3$. Тогда $a^5 = a^2 \cdot a^3$.

3. Разложим переменную $c$ в степени $8$. Аналогично, найдем два числа, сумма которых равна $8$. Например, $8 = 1 + 7$. Тогда $c^8 = c^1 \cdot c^7 = c \cdot c^7$.

4. Теперь сгруппируем полученные множители в два одночлена. Пусть первый одночлен состоит из множителей $2$, $a^2$ и $c$, а второй — из множителей $-4$, $a^3$ и $c^7$.

Получаем два одночлена: $2a^2c$ и $-4a^3c^7$.

5. Проверим, является ли их произведение исходным одночленом:

$(2a^2c) \cdot (-4a^3c^7) = (2 \cdot -4) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (c^1 \cdot c^7) = -8a^{2+3}c^{1+7} = -8a^5c^8$.

Произведение верно. Оба одночлена, $2a^2c$ и $-4a^3c^7$, записаны в стандартном виде.

Ответ: $(2a^2c) \cdot (-4a^3c^7)$.

б) Представим одночлен $-b^6y^9$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида. Коэффициент этого одночлена равен $-1$.

1. Разложим коэффициент $-1$ на множители: $-1 = -1 \cdot 1$.

2. Разложим $b^6$. Возьмем степени $3$ и $3$, так как $3+3=6$. Получим $b^6 = b^3 \cdot b^3$.

3. Разложим $y^9$. Возьмем степени $4$ и $5$, так как $4+5=9$. Получим $y^9 = y^4 \cdot y^5$.

4. Скомбинируем множители. Пусть первый одночлен будет $-1 \cdot b^3 \cdot y^4$, а второй $1 \cdot b^3 \cdot y^5$. В стандартном виде они записываются как $-b^3y^4$ и $b^3y^5$.

5. Выполним проверку:

$(-b^3y^4) \cdot (b^3y^5) = (-1) \cdot (b^3 \cdot b^3) \cdot (y^4 \cdot y^5) = -b^{3+3}y^{4+5} = -b^6y^9$.

Произведение верно.

Ответ: $(-b^3y^4) \cdot (b^3y^5)$.

в) Представим одночлен $60x^{10}y^{15}$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида.

1. Разложим коэффициент $60$ на множители. Например, $60 = 6 \cdot 10$.

2. Разложим $x^{10}$. Так как $10 = 5 + 5$, можно записать $x^{10} = x^5 \cdot x^5$.

3. Разложим $y^{15}$. Так как $15 = 7 + 8$, можно записать $y^{15} = y^7 \cdot y^8$.

4. Сгруппируем множители в два одночлена: $6x^5y^7$ и $10x^5y^8$.

5. Проверим результат:

$(6x^5y^7) \cdot (10x^5y^8) = (6 \cdot 10) \cdot (x^5 \cdot x^5) \cdot (y^7 \cdot y^8) = 60x^{5+5}y^{7+8} = 60x^{10}y^{15}$.

Произведение верно. Другим примером может быть $(-5x^9y^{14}) \cdot (-12xy)$.

Ответ: $(6x^5y^7) \cdot (10x^5y^8)$.