Номер 567, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 - номер 567, страница 127.

Условие.

567. Натуральное число а оканчивается единицей. Какой цифрой оканчивается степень числа а с натуральным показателем? Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?

Решение 1.

a ∈ N, a = ... 1; aⁿ = (... 1)ⁿ

Степень числа a с натуральным показателем заканчивается на 1. Аналогичное свойство выполняется для цифр 5, 6 и 0.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Какой цифрой оканчивается степень числа a с натуральным показателем?

Последняя цифра произведения чисел зависит только от последних цифр множителей. Пусть натуральное число $a$ оканчивается на 1. Это значит, что его можно представить в виде $a = 10k + 1$ для некоторого целого неотрицательного числа $k$.

Рассмотрим натуральные степени числа $a$:

• $a^1 = a$ по условию оканчивается на 1.
• $a^2 = a \cdot a$. Чтобы найти последнюю цифру произведения, нужно перемножить последние цифры сомножителей: $1 \cdot 1 = 1$. Значит, $a^2$ оканчивается на 1.
• $a^3 = a^2 \cdot a$. Последняя цифра $a^2$ — это 1, последняя цифра $a$ — это 1. Значит, последняя цифра $a^3$ будет $1 \cdot 1 = 1$.

Этот процесс можно продолжить для любой натуральной степени $n$. Поскольку на каждом шаге мы умножаем число, оканчивающееся на 1, на число, оканчивающееся на 1, результат всегда будет оканчиваться на 1. Таким образом, любая натуральная степень числа $a$ будет оканчиваться на 1.

Ответ: Степень числа $a$ с натуральным показателем всегда оканчивается цифрой 1.

Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?

Аналогичное свойство означает, что если число оканчивается на некоторую цифру $d$, то любая его натуральная степень также оканчивается на ту же цифру $d$. Нам нужно найти все цифры $d$, для которых последняя цифра числа $d^n$ равна $d$ при любом натуральном $n$.

Для этого достаточно проверить, чтобы последняя цифра квадрата цифры, $d^2$, была равна самой цифре $d$. Если это условие выполняется, то последняя цифра $d^3 = d^2 \cdot d$ будет такой же, как последняя цифра $d \cdot d$, то есть снова $d$, и так далее для всех больших степеней.

Проверим все цифры от 0 до 9:

• Цифра 0: $0^2=0$. Свойство выполняется. Любое число, оканчивающееся на 0, при возведении в натуральную степень даст число, оканчивающееся на 0.
• Цифра 1: $1^2=1$. Свойство выполняется, что мы уже установили в первой части.
• Цифра 2: $2^2=4$. Последняя цифра изменилась. Не подходит.
• Цифра 3: $3^2=9$. Последняя цифра изменилась. Не подходит.
• Цифра 4: $4^2=16$. Последняя цифра 6. Изменилась. Не подходит.
• Цифра 5: $5^2=25$. Последняя цифра 5. Свойство выполняется.
• Цифра 6: $6^2=36$. Последняя цифра 6. Свойство выполняется.
• Цифра 7: $7^2=49$. Последняя цифра 9. Изменилась. Не подходит.
• Цифра 8: $8^2=64$. Последняя цифра 4. Изменилась. Не подходит.
• Цифра 9: $9^2=81$. Последняя цифра 1. Изменилась. Не подходит.

Таким образом, свойство выполняется для цифр 0, 1, 5 и 6.

Ответ: Аналогичное свойство выполняется для цифр 0, 5 и 6.