Номер 563, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 563, страница 126.

563. Представьте в виде степени:

а) 4⁵ · 2²¹;
б) 25¹³ : 5¹¹;

в) 8⁵ · 16¹³;
г) 27¹⁰ : 9¹⁵.

а) Чтобы представить выражение $4^5 \cdot 2^{21}$ в виде степени, необходимо привести оба множителя к одному основанию. Заметим, что $4 = 2^2$.
Подставим это в исходное выражение: $4^5 \cdot 2^{21} = (2^2)^5 \cdot 2^{21}$.
При возведении степени в степень их показатели перемножаются (свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$.
Теперь выражение имеет вид: $2^{10} \cdot 2^{21}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $2^{10} \cdot 2^{21} = 2^{10+21} = 2^{31}$.
Ответ: $2^{31}$

б) Чтобы представить выражение $25^{13} \cdot 5^{11}$ в виде степени, приведем множители к общему основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$.
Подставим это в выражение: $25^{13} \cdot 5^{11} = (5^2)^{13} \cdot 5^{11}$.
Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $(5^2)^{13} = 5^{2 \cdot 13} = 5^{26}$.
Теперь умножим степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^{26} \cdot 5^{11} = 5^{26+11} = 5^{37}$.
Ответ: $5^{37}$

в) Для выражения $8^5 \cdot 16^{13}$ приведем основания 8 и 16 к общему основанию 2. Известно, что $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$.
Подставим эти значения в исходное выражение: $8^5 \cdot 16^{13} = (2^3)^5 \cdot (2^4)^{13}$.
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к обоим множителям: $(2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$
$(2^4)^{13} = 2^{4 \cdot 13} = 2^{52}$
Теперь перемножим полученные степени с одинаковым основанием: $2^{15} \cdot 2^{52} = 2^{15+52} = 2^{67}$.
Ответ: $2^{67}$

г) Чтобы представить выражение $27^{10} : 9^{15}$ в виде степени, приведем делимое и делитель к общему основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Подставим эти значения в выражение: $27^{10} : 9^{15} = (3^3)^{10} : (3^2)^{15}$.
Воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(3^3)^{10} = 3^{3 \cdot 10} = 3^{30}$
$(3^2)^{15} = 3^{2 \cdot 15} = 3^{30}$
Теперь выражение выглядит так: $3^{30} : 3^{30}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$): $3^{30} : 3^{30} = 3^{30-30} = 3^0$.
Ответ: $3^0$