Номер 557, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 - номер 557, страница 126.

Условие.

557. Верно ли при любом значении х равенство:

a) Ixl² = x²; б) |x|³ = x³?

Решение 1.

a) Ixl² = x² – верно, т.к.
Ixl² ≥ 0 и x² ≥ 0;

б) |x|³ = x³ – неверно, т.к.
при x ≥ 0 (-x)³ = x³.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Данное равенство $|x|^2 = x^2$ является верным для любого значения $x$. Для доказательства рассмотрим два случая, основанных на определении модуля числа.
1. Если $x \ge 0$, то по определению $|x| = x$. Тогда левая часть равенства будет выглядеть как $(x)^2$, что равно $x^2$. Таким образом, мы получаем тождество $x^2 = x^2$.
2. Если $x < 0$, то по определению $|x| = -x$. Тогда левая часть равенства будет выглядеть как $(-x)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(-x)^2 = x^2$. Мы снова получаем тождество $x^2 = x^2$.
Так как равенство выполняется в обоих случаях, оно верно для любого значения $x$.

Ответ: да, верно.

б) Данное равенство $|x|^3 = x^3$ является верным не для любого значения $x$. Также рассмотрим два случая.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Тогда левая часть равенства равна $(x)^3$, что равно $x^3$. Для всех неотрицательных $x$ равенство $x^3 = x^3$ выполняется.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Тогда левая часть равенства равна $(-x)^3$. Так как нечетная степень сохраняет знак, $(-x)^3 = -x^3$. Равенство принимает вид $-x^3 = x^3$. Это уравнение верно только если $2x^3 = 0$, то есть при $x = 0$. Но это противоречит нашему условию $x < 0$.
Следовательно, для любого отрицательного числа $x$ равенство неверно. Например, приведем контрпример для $x = -2$:
Левая часть: $|-2|^3 = 2^3 = 8$.
Правая часть: $(-2)^3 = -8$.
Поскольку $8 \ne -8$, равенство не выполняется для всех $x$.

Ответ: нет, неверно.