Номер 564, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 564, страница 126.

564. Представьте выражение в виде хⁿ или −хⁿ:

а) (−х³)⁷;
б) (−х²)⁵;

в) (−х)⁴х⁸;
г) (−х⁵)⁷ · (х²)³.

а) Для упрощения выражения $(-x^3)^7$ необходимо учесть два правила работы со степенями:
1. Возведение отрицательного основания в степень. Если показатель степени — нечетное число, то знак минус сохраняется. В данном случае показатель степени равен 7 (нечетное число), поэтому $(-x^3)^7 = -(x^3)^7$.
2. Возведение степени в степень. По правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, показатели степеней перемножаются.
Применяя эти правила, получаем:
$(-x^3)^7 = -(x^3)^7 = -x^{3 \cdot 7} = -x^{21}$.
Ответ: $-x^{21}$.

б) В выражении $(-x^2)^5$ показатель степени 5 является нечетным числом, поэтому знак минус сохраняется.
$(-x^2)^5 = -(x^2)^5$.
Далее, по правилу возведения степени в степень, перемножаем показатели:
$-(x^2)^5 = -x^{2 \cdot 5} = -x^{10}$.
Ответ: $-x^{10}$.

в) Выражение состоит из двух множителей: $(-x)^4$ и $x^8$.
Сначала упростим первый множитель $(-x)^4$. Показатель степени 4 — четное число. При возведении отрицательного числа в четную степень результат становится положительным.
$(-x)^4 = x^4$.
Теперь исходное выражение можно записать как $x^4 \cdot x^8$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^4 \cdot x^8 = x^{4+8} = x^{12}$.
Ответ: $x^{12}$.

г) Упростим каждый множитель в выражении $(-x^5)^7 \cdot (x^2)^3$ по отдельности.
Первый множитель: $(-x^5)^7$. Так как степень 7 нечетная, минус сохраняется. Затем применяем правило возведения степени в степень.
$(-x^5)^7 = -(x^5)^7 = -x^{5 \cdot 7} = -x^{35}$.
Второй множитель: $(x^2)^3$. Применяем правило возведения степени в степень.
$(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(-x^{35}) \cdot (x^6)$.
Знак минус выносится за скобки, а показатели степеней с одинаковым основанием $x$ складываются:
$-(x^{35} \cdot x^6) = -x^{35+6} = -x^{41}$.
Ответ: $-x^{41}$.